Esquemas cubiertos por subconjuntos abiertos afines finitamente numerosos

Question

Sea $X$ sea un esquema cubierto por un número finito de subconjuntos abiertos afines $U_i$ tal que para cualquier $U_i, U_j$ El $U_i\cap U_j$ es la unión de un número finito de subconjuntos abiertos afines $W^{(i,j)}_h$ . Entonces para cualquier subconjunto abierto afín $U, V$ El $U\cap V$ es la unión de un número finito de subconjuntos abiertos afines. Se trata esencialmente de la nota 6.1.H(p142) de Vakil.

Te agradecería mucho que dieras una prueba elemental.(Conocía la definición de esquemas hace sólo una semana. Todo lo que sé es anterior a 6.1.H.) ¿O alguna referencia?

Quiero demostrar que los esquemas proyectivos son cuasi-separados. Sé que es cierto si lo anterior es cierto.

Answer 1

He aquí una pista : Avanza en las notas hasta la proposición 6.3.1. Allí se demuestra que se puede cubrir la intersección de dos afines abiertos por afines abiertos que se distinguen (es decir $D(\cdot)$ ) en ambos.

Junto con la observación de que $U_i\cap U_j$ es cuasicompacta, yo mismo encontré ese ingrediente muy útil para demostrar 6.1.H hace algún tiempo. Tal vez tratar de reducir al caso de que $X$ está cubierta por sólo dos afines.

Le sugiero que vuelva a intentarlo. Si te frustras demasiado, puedes volver a pedir una solución u otra pista.