¿Por qué es esta definido, incluso cuando se divide por cero

Question

por lo que he conseguido $$\dfrac{x^3-4x^2+3x}{x^2-1}$$ and want to calculate the asymptotes. There's one a $x=-1$ since the function is not defined there. But the function seems to be defined for $x=1$. ¿Cómo ven? Debe ser definida en $x=1$ desde $f(1)=1^2-1 = 0$

Answer 1

Factor del numerador: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x-1)(x-3)$. Cancelar el factor común en el numerador y el denominador: $$\dfrac{x(x-1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x(x-3)}{x+1}$$

Sin embargo, por favor tenga en cuenta que la función original NO está definida en $x = 1$. Pero no hay asíntota existe porque es una discontinuidad removible.

Asíntotas verticales se producen sólo cuando el denominador es cero, pero que no necesariamente se producen cuando el denominador es cero.

En el caso de $x = -1$, el denominador es cero, de modo que tenemos un potencial asíntota en $x = -1$. De hecho, el numerador de la función dada es no cero en $x = -1$, y por lo tanto una asíntota no en el hecho de existir, y que está dado por la línea vertical $x = -1$.

Por otro lado, en el caso de $x = 1$, mientras que el denominador es cero (y por lo tanto, tenemos que determinar si es o no una asíntota), vemos que el numerador también evalúa a$0$$x = 1$. De hecho, vemos que, tanto el numerador y el denominador comparten un factor común a $x - 1$, la cual puede ser cancelado, y por lo tanto, la discontinuidad en el $x = 1$ puede ser eliminado. Así que, de hecho, no existe asíntota en $x = 1$.

Sugerencia: gráfica de la función original para tener una idea visual de lo que ocurre con la función dada.

Answer 2

La función, tal como se presenta, es indefinida cuando $x=1$. Sin embargo, la discontinuidad es removible desde el numerador tiene un factor de $x-1$.

Answer 3

No está definido en $x = 1$; en ese punto se tiene una "extraíble singualarity;" usted debe mostrar esto en un gráfico por poner un blanco (hueco) de punto a punto. En una singularidad removible, puede redefinir la función para hacerla continua. Pero que los cambios de la función. Conclusión: Extraíble singularidades no están en el dominio de la función.

Answer 4

Porque hay un factor de $(x-1)$ en el numerador. $$x^3-4x^2+3x=x(x-3)(x-1).$$ So the $(x-1)$ factor en el denominador cancela fuera.