Caracterización de Cantor-conectividad

Question

Para Cantor-conectividad yo uso la siguiente definición:

Un $p$-espacio métrico $(X,d)$ es de Cantor-conectados si por cualquier $\epsilon > 0$, dos puntos cualesquiera $x, y \in X$ puede ser conectado con un $\epsilon$-de la cadena, es decir, no existen puntos de $x = x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} = y$ $X$ tal que $d(x_{i-1},x_{i}) \leq \epsilon$ todos los $i \leq n$.

Me gustaría probar la siguiente caracterización de Cantor-conectividad:

Un espacio de $(X,d)$ es de Cantor-conectados si y sólo si no se puede dividir en dos conjuntos de $A$ $B$ tal que $d(A,B) > 0.$

Ya tengo las siguientes:

Primero hemos de probar que si $(X,d)$ es de Cantor-conectado, $X$ no se puede dividir en dos conjuntos de $A$ $B$ tal que $d(A,B) > 0.$ Supongamos que existe una partición de $X$ en los conjuntos de $A$$B$$d(A,B) > 0.$$a \in A$$b \in B$, tome $\epsilon > 0$. Por el hecho de que $X$ es de Cantor-conectado, no existe $a = x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} = b$ $X$ tal que $d(x_{i-1},x_{i}) \leq \epsilon$ todos los $i \in \{1, \cdots,n\}$. Pero entonces tenemos $$d(a,b) \leq \sum_{i=1}^{n}d(x_{i-1},x_{i}) \leq n \epsilon.$$ By arbitrariness of $\epsilon$ we get that $d(a,b) = 0$, hence $d(a,B)=0$. Esta es una contradicción.

Ahora nos muestran que si $X$ no se puede dividir en dos conjuntos de $A$$B$$d(A,B) > 0$, $X$ es de Cantor-conectado. Supongamos que $x, y \in X$ $\epsilon > 0$ arbitrarias. Set $x_{0} = x$. Entonces existe $x_{1} \in X$ tal que $d(x_{0},x_{1}) \leq \epsilon$. Si no, $\{x\}$ $X \setminus \{x\}$ forman una partición con $d(\{x\}, X \setminus \{x\}) > 0$. De forma análoga podemos encontrar $x_{2} \in X$ tal que $d(x_{1},x_{2}) \leq \epsilon.$ Esto nos dará $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots \in X$ $d(x_{i-1},x_{i}) \leq \epsilon.$ Ahora tenemos que demostrar que después de un número finito de pasos, obtenemos $x_{n}= y$ $d(x_{n-1}, x_{n}) \leq \epsilon.$

¿Alguien puede explicarme por qué el proceso en el último paso se detiene después de un número finito de pasos?

Answer 1

Su método de la prueba, está condenada al fracaso, ya que forma una secuencia sin sentido, hasta el punto de $y$ que usted quiere llegar.

En su lugar, considere la posibilidad de un fijo $x$ y tome el conjunto de todos los puntos que pueden ser alcanzados de $x$ $\epsilon$- de la cadena. Si no todos los de $X$, entonces, ¿qué más se puede decir acerca de este conjunto?

Answer 2

No veo ninguna razón por la que el proceso de dejar después de un número finito de pasos. Suponga que está trabajando en $\mathbb{R}^2$, y usted está tratando de conectar $x = (0,0)$$y = (1,0)$. Que podría ser que en cada paso sólo se mueve a lo largo de la $y$-eje: algo así como $x_0 = (0,0)$, $x_1 = (0,\epsilon)$, $x_2 = (0,2 \epsilon )$, etc. (En realidad, el proceso no asegurarse de que los puntos que se toman son distintos!)

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Para mostrar que la condición dada implica Cantor-conectividad, vamos a $x \in X$ $\varepsilon >0$ ser dado. Consideremos el conjunto $$A_{x,\varepsilon} = \{ y \in X : y \text{ can be reached from } x \text{ by finitely many steps each of length } \leq \epsilon \}.$$ Note that if $A_{x,\varepsilon}$ and $X \setminus A_{x,\varepsilon}$ are both nonempty, then $d (A_{x,\varepsilon},X \setminus A_{x,\varepsilon} ) > 0$ (in fact, $\geq \varepsilon$). The condition will then imply that $A_{x,\varepsilon} = X$ for all $x$ and $\varepsilon$, which means that $X$ es el Cantor-conectado.

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Me gustaría señalar que en la prueba de la dirección de avance debe indicar explícitamente que desde $a = x_0$ pertenece a $A$ $b = x_n$ pertenece a $B$, entonces no debe ser un $i$ tal que $x_i \in A$$x_{i+1} \in B$, y estos son en la mayoría de las $\varepsilon$ aparte, lo que significa que $d(A,B) \leq \varepsilon$.