$\{ x \in X : |f(x)| \geq \epsilon \}$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $X$ .

Question

Pregunta de papel del año pasado.

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico y que $f: X \to \mathbb{R}$ sea una función continua, donde $\mathbb{R}$ se le da la métrica estándar. Supongamos que para cualquier $\epsilon > 0$ el conjunto $\{ x \in X : |f(x)| \geq \epsilon \}$ es un subespacio métrico compacto de $X$ . Demostrar que $f$ es uniformemente continua en $X$ .

Intento:

Dejemos que $\epsilon >0$ se le dará. Sea $K := \{ x \in X : |f(x)| \geq \frac{\epsilon}{2} \}$ . $f$ es continua en $K$ $\implies f$ es continua uniforme en $K$ . Entonces existe $\delta$ tal que $d(x,y)<\delta \implies |f(x)-f(y)| < \frac{\epsilon}{2}$ .

Tome cualquier $2$ puntos $x,y \in X$ , de tal manera que $d(x,y)<\delta$ . Si $x,y \in K$ entonces $|f(x)-f(y)| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$ . Si $x,y \notin K$ entonces $|f(x)-f(y)| \leq |f(x)|+|f(y)| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \leq \epsilon$ .

Pero estoy atascado aquí, porque ¿qué pasa si $x \in K$ y $y \notin K$ .

Answer 1

Supongamos que $f$ no es uniformemente continua. Entonces existe $\delta >0$ y secuencias $\{x_n\},\{y_n\}$ tal que $d(x_n,y_n) \to 0$ pero $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \delta$ para cada $n$ . Para cada $n$ o bien $|f(x_n)| \geq \delta /2$ o $|f(y_n)| \geq \delta /2$ . Una de ellas es válida para un número infinito de $n$ . Supongamos que $|f(x_n)| \geq \delta/2 $ a lo largo de una subsecuencia. La hipótesis te dice que la subsecuencia se encuentra en un conjunto compacto, por lo que tiene una subsecuencia convergente. A lo largo de esta subsecuencia ambas secuencias $\{x_n\},\{y_n\}$ convergen al mismo límite $x$ porque $d(x_n,y_n) \to 0$ . Esto contradice la continuidad de $f$ en $x$ .