¿Cómo puede un cono tienen distinto de cero curvatura de Riemann sin embargo, puede estar hecho de un pedazo de papel?

Question

Un cono con un $90^\circ$ ángulo del vértice puede ser parametrizado por

$$(x, y, z) = (z \cos \theta, z \sin \theta, z).$$

La métrica en el cono puede entonces ser encontrado

$$dx^2 + dy^2 + dz^2 = 2 dz^2 + z^2 d \theta.$$

El único no-cero de símbolos de Christoffel son

$$\Gamma^z_{\space \space \theta \theta} = -\frac{1}{z} \hspace{1 cm}\Gamma^\theta_{\space \space \theta z} = \frac{z}{2}$$

y el único no-cero de componentes independientes de la de Riemann tensor de curvatura es

$$R_{z \theta z \theta} = 2 z^{-2} + 1.$$

Es posible que cometí un error en los anteriores cálculos, pero creo que son correctos.

Esto muestra que un cono no es localmente plana.

Sin embargo, un cono en la vida real puede estar formado por la curva de un pedazo de papel. Por ejemplo, para calcular el área de la superficie de un cono, se puede considerar que el área de la superficie de un pac-man de forma horizontal sobre una mesa. Cuando la parte superior e inferior de la boca de la pac-man se unen, el papel está en la forma de un cono.

Los símbolos de Christoffel y tensor de Riemann no contienen información sobre la incrustación de un colector en el espacio ambiente. Por lo tanto, me parece que el tensor de Riemann tendría que ser $0$, como sería para que la pieza plana de papel. ¿Cómo puede ser esto?

Answer 1

Como Anthony Carapetis señala correctamente, efectivamente había un error en mis cálculos y el tensor de Riemann de un cono es, de hecho,$0$. Voy a decir un par de palabras más para aquellos que tropieza a través de esta respuesta y desea una lección extra acerca de los conos y la curvatura.

Yo creía, equivocadamente, que una de cono no ha $0$ curvatura de Riemann, porque si usted toma un vector tangente a la cónica y transporte paralelo a lo $360^\circ$ alrededor del cono, no entrará de nuevo en la misma configuración que cuando comenzó. (Pensar sobre el cono en términos de la de pac-man para convencerse de esto.) Debido a que el cono tiene un no-trivial paralelo propiedades de transporte, supuse que no podía ser plana.

Vamos a introducir una pendiente del parámetro $a$ el cono. Al $a = 1$, tenemos el cono de los de antes. Al $a = 0$ tenemos un plano.

$$(x, y, z) = (r \cos \theta, r \sin \theta, ar).$$

$$dx^2 + dy^2 + dz^2 = (1 + a^2) dr^2 + r^2 d \theta$$

$$\Gamma^r_{\space \space \theta \theta} = \frac{-r}{1 + a^2} \hspace{1 cm} \Gamma^\theta_{\space \space \theta r} = \frac{1}{r}$$

$$R_{r \theta r \theta} = 0$$

Veamos ahora el transporte paralelo de un vector $u^\mu = (u^r, u^\theta)$ alrededor del cono. Nuestra ruta será

$$(r, \theta) = (A, t)$$

y el vector de velocidad alrededor de este camino va a ser, por tanto,

$$(v^r, v^\theta) = (0, 1).$$

Desde el paralelo de la ecuación de transporte

$$\frac{d u^\nu}{dt} = - \Gamma^\nu_{\space \space \mu \sigma} u^\mu v^\sigma$$

podemos fácilmente las siguientes dos ecuaciones que rigen la evolución de $u^\mu$:

$$\frac{d^2 u^r}{dt^2} = -\frac{1}{1 + a^2} u^r$$ $$\frac{d^2 u^\theta}{dt^2} = -\frac{1}{1 + a^2} u^\theta$$

Al $t = 2 \pi$ ha completado un bucle alrededor del cono.

Podemos ver a partir de las dos ecuaciones anteriores que al $a = 0$, el vector $u^\mu$ es devuelto a su estado original. De lo contrario, el vector será, en general, diferentes. (La solución de cada ecuación es una combinación lineal de $\cos(t / \sqrt{1 + a^2} )$$\sin(t / \sqrt{1 + a^2} )$.)

Yo creía, equivocadamente, que si la curvatura se $0$ en todas partes en que esto no sucede. Ahora me doy cuenta de que esto sólo es cierto para un simplemente conectado suave región. (La punta del cono, es el problema). De lo contrario, la prueba de que la curvatura cero $\implies$ espacio plano no funciona. Mi incapacidad para darse cuenta de que esta es la razón por la que yo no era más escéptico de mi trabajo incorrecto. Espero que esto sea interesante para los demás.

Answer 2

Estaba preparando una respuesta a esta pregunta en la misma línea de la respuesta de user1379857. Este es perfecto, así que no tengo nada que añadir, pero desde que he construido un pequeño modelo que ilustran cómo el vértice es un punto especial y que un vector paralelo transportan alrededor de este punto en especial se trata de volver a la posición inicial con un ángulo residual, puedo añadir aquí las imágenes que pueden ser útiles.

La primera imagen ilustrar cómo un vector es trasladado en un avión sin un ángulo (el pac-man en la respuesta de user1379857 ), en la segunda imagen ilustrar cómo esto es equivalente a la ruta de acceso en un cono cuando los dos lados del ángulo son pegados.

Tenga en cuenta que esto sólo es cierto si el camino cerrado contener el vértice, de modo que la región no es suave.