Es $dy = -\frac{1}{x^2}dx$ una reordenación válida de $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ ?

Question

$$ y = \frac{1}{x}$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$$ Es $$dy = -\frac{1}{x^2}dx$$ una reordenación válida de $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ ? Es decir, ¿es una operación matemáticamente significativa/legítima?

Answer 1

Esta es una pregunta engañosa y profunda cuya respuesta depende de muchas cosas. Las cuestiones específicas son

1. Usted pregunta si es "matemáticamente significativo/legítimo" su uso. ¿Qué significa que tenga sentido? A primera vista, se trata de un tipo de operación realizada por cientos de miles de estudiantes que aprenden cosas como $u$ -sustitución todo el tiempo. En estos casos, el resultado que sale es correcto, por lo que algunos podrían estar tentados de llamarlo "taquigrafía", aunque quizás no sea del todo correcto. ¿Tiene sentido y es legítimo?

2. Parte de la respuesta depende del nivel de sofisticación del público. En los cursos de cálculo para principiantes, la respuesta corta es que $\frac{dy}{dx}$ no es una fracción y no debe tratarse como tal. Hemos elegido la fracción-notación porque en muchos aspectos se comporta como una fracción. La regla de la cadena es un excelente ejemplo de ello. Puedes leer las respuestas a Es $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ ¿no es una proporción? para comprender mejor.

3. A mayor nivel de sofisticación, se podría considerar $dx$ como un "diferencial" (o más arriba, una "forma diferencial"). Con este nivel de comprensión y maquinaria, se puede concluir que es un conjunto de reordenamientos perfectamente razonable. Se puede leer ¿Cómo de engañoso es considerar $\frac{dy}{dx}$ como una fracción de MO.

4. Pero antes de que pienses que, en realidad, es totalmente razonable, debes saber que una línea de pensamiento similar no se aplica al cálculo o análisis multivariable. Así que esto es algo confuso.

Answer 2

Es significativo y legítimo, y de hecho, es como muchos se resuelven las ecuaciones diferenciales. De acuerdo, es confuso porque el cálculo se suele enseñar de tal manera que $\frac{d}{dx}[\ ]$ es un operador y no una variable, pero cuando se tiene $\frac{dy}{dx}$ en una ecuación que necesitas resolver, puedes tomar $dy$ y $dx$ para significar una cantidad infinitesimal de $y$ y $x$ respectivamente.

Infinitesimales no se introdujeron formalmente hasta la década de 1950, pero eran lo que Leibniz tenía en mente en su formulación del cálculo. Sólo que no se pudo explicar de forma rigurosa hasta el desarrollo de la teoría de modelos. Los matemáticos utilizaban este tipo de técnica de todas formas, porque es mucho más rápido que utilizar la definición de derivada basada en límites cada vez que se quiere hacer cálculo. Así es como se enseña en el plan de estudios moderno. Se empieza con la definición rigurosa de una derivada, y luego se utilizan estas técnicas que se explican de forma no tan rigurosa.

Para continuar con tu ejemplo, si integras ambos lados de tu ecuación, obtienes

$$\int dy = \int \frac{-1}{x^2} dx,$$ $$y = \frac{1}{x} + c,$$

y su ecuación original satisface esto.