Deje que$a$ y$b$ pertenezcan a un grupo$G.$ Encuentre un$x$ en$G$ tal que$xabx^{-1}=ba.$

Question

Deje que$a$ y$b$ pertenezcan a un grupo$G$. Encuentra un$x$ en$G$ tal que$xabx^{-1}= ba$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora, pero estoy atascado y no estoy seguro si estoy en la dirección correcta:

$xabx^{-1} = ba$

Multiplica ambos lados a la derecha por$x$.

$xabx^{-1}x = bax$.

Ahora el$x^{-1}x$ cancela:$xab = bax$.

Aquí es donde estoy atascado porque no estoy seguro de cómo resolver un$x$ en$G$.

Answer 1

Intenta dejar$x = a^{-1}$, para que$x^{-1} = (a^{-1})^{-1} = a$.

O, si lo prefiere, deje$x = b$, así que$x^{-1} = b^{-1}$.

(Dado que$a, b \in G$, también lo son$a^{-1}, b^{-1} \in G$, ya que$G$ es un grupo y un grupo está cerrado tomando inversos).

Answer 2

$x=a^{-1}$ o$x=b.$

Prueba:$xabx^{-1}=ba.$ Por un poco de manipulación obtenemos$xa=b(ax)b^{-1.}$ Ahora, como$x,a,b$ están en$G$ y la estructura de la ecuación es similar a la en cuestión, la obtenemos al comparar los dos como$x=b.$ De manera similar,$bx^{-1}=a^{-1}(x^{-1}b)a.$ Entonces, en comparación nuevamente obtenemos$x^{-1}=a$ o$x=a^{-1}.$