¿Cómo saber si el vector está en el espacio de columnas de una matriz?

Question

Tengo un ejercicio en el que tengo que decir si un vector $\vec{u} = \left(\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right)$ está o no en un espacio de columnas de una matriz $A = \left(\begin{matrix}1 & -2\\ -2 & 4\end{matrix}\right)$ . Soy bastante novato, y todavía no me siento muy cómodo con estos conceptos.

Lo que hice fue crear una matriz de aumento:

$$\left(\begin{array}{cc|c}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 2\end{array}\right)$$

Si trato de reducir esto me sale la segunda fila como $\left(\begin{array}{cc|c}0 & 0 & 4 \end{array}\right)$ .

Lo que creo que significa que el $\vec{v}$ no está en $A$ porque $0 +/- 0 \neq 4$ .

¿Podría dar una explicación más técnica de por qué? Sé que puede parecer demasiado fácil, pero para entender mejor...

Answer 1

Podrías formar la matriz de proyección, $P$ de la matriz $A$ :

$$P = A(A^TA)^{-1}A^T$$

Si un vector $\vec{x}$ está en el espacio de columnas de $A$ entonces

$$P\vec{x} = \vec{x}$$

es decir, la proyección de $\vec{x}$ al espacio de la columna de $A$ mantiene $\vec{x}$ sin cambios desde $\vec{x}$ ya estaba en el espacio de la columna.

$\therefore$ comprobar si $P\vec{u} = \vec{u}$

Answer 2

Has realizado la operación correctamente.

La propiedad que se aprovecha con este método es el hecho de que el espacio de columnas de una matriz es el mismo que el rango de la transformación matricial correspondiente (es decir $x \mapsto A \vec{x}$ ). Por definición del rango de una función, $\vec{u}$ está en el rango si y sólo si existe algún $\vec{x}$ tal que $A \vec{x} = \vec{u}$ . Así que intentaste resolver esa ecuación matricial, y determinaste que no había solución (produciendo una incoherencia).

Answer 3

Para mostrar que algo está en el ámbito de un conjunto de vectores, quieres mostrar que es una combinación lineal de esos vectores. Así que técnicamente lo que estás haciendo es buscar constantes $c_1$ y $c_2$ tal que $\left(\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right)=c_1\left(\begin{matrix}1 \\ -2\end{matrix}\right)+c_2\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$, which is equivalent to the equation $A\vec{c}=\vec{u},$ where $\vec{c}=\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\end{matrix}\right)$ . Y entonces esta ecuación se puede resolver (o demostrar que es inconsistente) por el método que has utilizado.

Answer 4

Tu reducción de filas es un método general, y lo has hecho correctamente.

Sin embargo, una forma fácil de ver que tu vector no está en el espacio de columnas de esa matriz específica es notar que las columnas son múltiplos escalares entre sí (multiplica la primera por $-2$ ), por lo que el espacio de la columna es una línea en $\mathbb{R}^2$ con pendiente $-2$ que pasa por el origen, y el punto $(1,2)$ no está claramente en esta línea.

Answer 5

Lo que hiciste es el procedimiento correcto. funciona sin importar el tamaño del sistema. el punto clave era que había un pivote en la última columna que indicaba una ecuación de la forma $$0x_1 + 0x_2 + \cdots + 0 x_n = 1$$ que no puede satisfacerse. que a su vez significa que la última columna no es una combinación lineal de las columnas anteriores.

el problema que tienes en tu post trata de vectores columna en un plano. allí la independencia lineal significa que un vector es múltiplo del otro. puedes ver que la segunda columna es múltiplo de la primera y la tercera no. por lo tanto, la tercera columna no puede estar en el espacio de columnas de las dos primeras.