La operación antes de la adición.

Question

Le pregunté a una pregunta acerca de las operaciones y un comentario me desconcertó.

Dada una operación binaria $\ast$ en enteros, al menos,$2$, definir $\ast'$ $$m\ast' n = \overbrace{m\ast m\ast \cdots \ast m}^{n\text{ times}}.$$

Ejemplo :

• si $*$ es $+$ , $*'$ es $×$. Las multiplicaciones son una gran cantidad de adiciones.

• si $*$ es $×$ , $*'$ es $^$. Exponencial son una gran cantidad de adiciones.

La pregunta es ¿qué es $*$ al$*'$$+$ ?

Las adiciones son un montón de... ¿qué?

Answer 1

Usted puede definir la operación $*_1 = +$, $$x *_{n+1} y = e^{\log x *_n \log y},$$ y $$x *_{n-1} y = \log\left(e^x *_n e^y\right).$$ Entonces tenemos $*_1 = +$, $*_2 = \times$, y $x *_3 y = x^{\log y}$ que no es exactamente lo que usted está buscando, pero está cerca. Podemos continuar indefinidamente en ambas direcciones. (Tenga cuidado acerca de los dominios de estas operaciones.)

En particular, el funcionamiento que usted está interesado en, el predecesor de $+$$*_0$, que se define como: $$x *_0 y = \log\left(e^x + e^y\right).$$ Yo no soy consciente de que un nombre para esta operación, pero usted puede sentirse libre para explorar.

Como un aparte, tenga en cuenta que todas estas operaciones son conmutativas. Específicamente, $*_3$ es como un conmutativa de la versión de exponenciación.