¿Intercambiando$\lim$ y$\inf$?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de funciones$f_n(x)$ que converge a una función limitante$f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ para$\forall x \in [a,b]$. Me preguntaba en qué condiciones se cumple lo siguiente? \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \inf_{x \in [a,b]} f_n(x) = \inf_{x \in [a,b]} f(x). \end{ecuación*}

Answer 1

Como ya se ha mencionado por sranthop, $\Gamma$-convergencia es la noción precisa para la captura de los mínimos de la función de las secuencias.

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Aquí es una secuencia de funciones, que no tiene la propiedad deseada (en este caso $[a,b]=[0,1]$): $$ f_n(x) : = \begin{cases} 0 & x \in (0,\frac1n)\\ 1 & x\not\in (0,\frac1n) \end{casos}. $$ A continuación, $f_n(x) \to 1 =:f(x)$ todos los $x$. Por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty} \inf_{x\in[0,1]} f_n(x) = 0 \ne \inf_{x\in[0,1]} f(x) =1. $$

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Sin embargo, puede deducir la desigualdad $$ \operatorname*{lim sup}_{n\to\infty} \inf_{x\in[a,b]} f_n(x) \le \inf_{x\in[a,b]} f(x)$$ para pointwise convergentes $f_n$ hacia $f$: Tome $\epsilon>0$. Entonces no es $x_\epsilon$ tal que $f(x_\epsilon)\le \inf_x f(x) +\epsilon$. Entonces tenemos $$ \inf_x f_n(x) \le f_n(x_\epsilon), $$ pasando al límite de los rendimientos $$ \operatorname*{lim sup}_{n\to\infty} f_n(x) \le f(x_\epsilon) \le \inf_x f(x) +\epsilon. $$ Ahora, $\epsilon>0$ fue arbitraria, la desigualdad es un hecho.