$\dim \mathbb K[x,y,z]/(xy,xz,yz)$

Question

Si $\mathbb K$ es un campo que me gustaría encontrar a $$\dim \mathbb K[x,y,z]/(xy,xz,yz)$$

Estoy empezando a estudiar el concepto de la dimensión de los anillos y no sé las herramientas básicas y técnicas para descubrir las dimensiones de la no-trivial de los anillos como este. Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar a resolver esta cuestión a la que se va a abrir mi mente con respecto a este nuevo tema.

Gracias de antemano

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Como yo no entendía el Martin solución, estoy usando otra estrategia, con el fin de resolver esta pregunta, estoy tratando de encontrar un isomorfismo entre el $\mathbb K[x,y,z]/(xy,xz,yz)$ a un anillo que sabemos de su dimensión. No encontré ningún posible candidato para este isomorfismo, me gustaría saber si es posible resolver esta cuestión mediante esta estrategia.

Answer 1

La variedad algebraica $V(xy,xz,yz) \subseteq k^3$ es la unión de los tres ejes de coordenadas $k \times 0 \times 0$, $0 \times k \times 0$ y $0 \times 0 \times k$. Estos son los irreductible componentes, y la dimensión es la dimensión máxima de una componente irreducible. Por lo tanto, la dimensión es $1$. Esta prueba funciona si $k$ es algebraicamente cerrado y asume algunos conocimientos básicos de la geometría algebraica. Por lo tanto, permítanme dar una información más directa de la prueba, que también funciona al $k$ es un campo arbitrario.

Un alojamiento ideal en $k[x,y,z]/(xy,xz,yz)$ corresponde a un primer ideal $\mathfrak{p}$ $k[x,y,z]$ que contiene $xy$, $xz$ y $yz$. Desde $xy \in \mathfrak{p}$, $x \in \mathfrak{p}$ o $y \in \mathfrak{p}$. Suponga que w.l.o.g. que $x \in \mathfrak{p}$. A continuación, $\mathfrak{p}$ corresponde a un primer ideal de $k[y,z]/(yz)$. Por lo tanto, un primer ideal de la cadena en $k[x,y,z]/(xy,xz,yz)$ comenzando con un primer ideal que contiene a $x$ es realmente el mismo como un primer ideal de la cadena en $k[y,z]/(yz)$. Pero este anillo tiene dimensión $1$: Un primer ideal de la cadena se inicia con un primer ideal que contiene, decir $y$ (en el caso de $z$ funciona de la misma), por lo tanto corresponde a un primer ideal de la cadena de $k[z]$, lo que ha dimensión $1$.

La misma prueba se muestra: Si $k$ es arbitraria anillo conmutativo, entonces $\dim \, k[x_1,\dotsc,x_n]/(x_i x_j : 1 \leq i<j \leq n) = \dim k[x]$.