Pregunta sobre vectores y geometría en cálculo

Question

Soy bastante novato en cálculo y me han pedido que responda a la siguiente pregunta. Creo que tengo la respuesta correcta, pero me encantaría recibir comentarios, sobre todo porque algunas respuestas las he deducido empíricamente, sin entender realmente el razonamiento que hay detrás También, por supuesto, puede haber errores que no haya detectado.

$\mathbf u=(u_1,u_2,u_3)$ un vector en el espacio.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y cuáles incorrectas?

1. existe un vector $\mathbf u$ que crea idénticos $45^\text{o}$ ángulos con los vectores unitarios $\mathbf i,\mathbf j$ .
2. existe un vector $\mathbf u$ que crea idénticos $60^\text{o}$ ángulos con los vectores unitarios $\mathbf i,\mathbf j$ .
3. existe un vector $\mathbf u$ que crea idénticos $30^\text{o}$ ángulos con los vectores unitarios $\mathbf i,\mathbf j$ .
4. Todos los vectores $\mathbf u$ que son perpendiculares a $\mathbf i+\mathbf j+ \mathbf k$ se encuentran en cualquier línea recta del espacio.
5. La proyección del vector $\mathbf u$ en el eje z es el vector (0,0, $u_3$ )

Mis respuestas son:

1 y 2 son correctas; he encontrado un ejemplo para ambas (la primera era obvia, la segunda requirió un poco de trabajo)

3 es incorrecto, pero no entiendo la razón en términos teóricos (me encantaría saber más, también lo que distingue a éste del número 2)

4 es incorrecto, porque he encontrado todos los vectores que se ajustan a esta definición para estar en un plano, y no una línea recta (a saber, el plano $x+y+z=0$ ).

5 es correcto

Gracias.

Answer 1

Todas sus respuestas son correctas. Para ver por qué 3 es imposible, ponga $\mathbf u =(u_1,u_2,u_3)$ . Una propiedad general de $\mathbb R^3$ es que el producto punto de 2 vectores puede expresarse geométricamente:

$$\mathbf u \mathbf v = \lvert\mathbf u\rvert\lvert\mathbf v\rvert\cos(\alpha),$$

donde $\alpha$ es el ángulo entre $\mathbf u$ y $\mathbf v$ .

Si aplicamos esto a $\mathbf u$ y $\mathbf i$ (ángulo $\alpha_1$ ) obtenemos

$$\mathbf u \mathbf i = u_1=\lvert\mathbf u\rvert\cdot 1\cdot \cos(\alpha_1),$$

y de forma similar para $\mathbf u$ y $\mathbf j$ (ángulo $\alpha_2$ ):

$$\mathbf u \mathbf j = u_2=\lvert\mathbf u\rvert\cdot 1\cdot \cos(\alpha_2).$$

Es decir

$$u_1^2+u_2^2=\lvert\mathbf u\rvert^2\cos^2(\alpha_1) + \lvert\mathbf u\rvert^2\cos^2(\alpha_2) = (u_1^2+u_2^2+u_3^2)(\cos^2(\alpha_1) + \cos^2(\alpha_2))$$

y finalmente

$$\cos^2(\alpha_1) + \cos^2(\alpha_2) = \frac{u_1^2+u_2^2}{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\le 1.$$

Como se puede ver esa desigualdad es una igualdad para $\alpha_1=\alpha_2=45°$ es cierto para $\alpha_1=\alpha_2=60°$ pero no para $\alpha_1=\alpha_2=30°.$

Answer 2

El ángulo es equivalente a la distancia en la esfera unidad y, por tanto, también sigue la desigualdad del triángulo: si $\angle\mathbf u\mathbf v =\theta$ para cualquier $\mathbf w$ , $\angle \mathbf u \mathbf w +\angle \mathbf v \mathbf w \ge \theta$ . Esto debería ser razonablemente obvio: si caminas entre dos puntos separados por mil millas (0,252 rad) en la Tierra, tienes que caminar 500 (0,126 rad) millas y luego 500 más. No sólo 300 (0,0757 rad) millas y 300 más.

En cuanto a los demás: construir un ejemplo explícito no sólo es una prueba de existencia perfectamente válida, ¡a menudo es la más buscada! (Del mismo modo, construir un contraejemplo es un gran método para refutar una afirmación "todo x hace y").