Supongamos que $U_1,\dots,U_k$ y $V_1,\dots,V_k$ son $n\times n$ matrices unitarias. Demuestre que $\|U_1\cdots U_k-V_1\cdots V_k\|\leq\sum_{i=1}^k\|U_i-V_i\|$

Question

Sea $V,W$ sean espacios de productos internos complejos. Supongamos que $T: V \to W$ es un mapa lineal, entonces definimos $$\|T\|:=\sup\{\|Tv\|_{W}:\|v\|_{V}=1\}$$ donde $\|v\_{V}\|:=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ y $\|Tv\|_{W}:=\sqrt{\langle Tv,Tv\rangle}$ .

Pregunta: Supongamos que $U_1,\ldots,U_k$ y $V_1,\ldots,V_k$ son $n {\times} n$ matrices unitarias. Demuestre que $$\|U_1\cdots U_k-V_1\cdots V_k\| \leq \sum_{i=1}^{k}\|U_i-V_i\|$$

He intentado utilizar la desigualdad triangular para las normas y la inducción, pero he fracasado. ¿Alguien puede darme alguna pista? Gracias.

Answer 1

Para $k = 1$ la desigualdad se convierte en una identidad. Así pues, empecemos por el caso especial $k = 2$ : $$\begin{array}{ll} & ||U_1 U_2 - V_1 V_2||\\ \\ = & ||U_1 U_2 - V_1 U_2 + V_1 U_2 - V_1 V_2||\\ \\ = & || ( U_1 - V_1) U_2 + V_1 (U_2 - V_2) || \\ \\ \leq & ||( U_1 - V_1) U_2 || + ||V_1 (U_2 - V_2) ||.\\ \end{array}$$ (La última desigualdad es la desigualdad del triángulo.) Ahora, puesto que $U_2$ es unitario, tenemos $||U_{2}|| = 1$ Así que $$|| ( U_1 - V_1) U_2 || \leq || U_1 - V_1 ||.$$ Un límite similar se obtiene para $||V_1 (U_2 - V_2) ||$ .

Esto debería darte suficientes "bloques de construcción":)