$2{\times} 2$ matrix$A$ de valor complejo que no tiene solo valores reales; $A^p,A^q$ para$(p,q) = 1$ son valores reales; encontrar $A^2$

Question

Deje $A$ ser $2{\times} 2$ valores complejos de la matriz que no tiene real sólo las entradas. Existen enteros positivos $p,q$ con $(p,q) = 1$ tal que $A^p,A^q$ son reales valorados. Encontrar $A^2$.

Mi progreso: $A$ no es invertible: si fuera invertible, por Bézout del lexema, existen enteros $a,b$ tal que $ap + bq = 1$; por Lo tanto $A = A^{ap + bq} = (A^p)^a (A^p)^b$, que es un valor real, la contradicción. Por lo tanto $\det(A) = 0$. No sé cómo continuar a partir de aquí. Alguna idea?

Answer 1

Usted necesidad de utilizar la condición de que $A$ es $2\times2$.

Ya ha demostrado que $A$ es singular. Ahora, si $A$ no es nilpotent, debe ser un rango no nilpotent de la matriz. Por lo tanto, todos sus entero positivo poderes, incluido el $A^p$, son cero múltiplos escalares de $A$. Sin embargo, $A^p$ es real. Por lo tanto, $A=zR$ para algunos $z\in\mathbb C$ y algunos reales de la matriz $R$.

Desde $A^p$ e $A^q$ son reales, $z^pR^p$ e $z^qR^q$ son reales. Como $A$ no es nilpotent, $z, R^p$ e $R^q$ son cero. Por lo tanto $z^p,z^q$ y a su vez $z=z^{gcd(p,q)}$ debe ser real. Pero, a continuación, $A=zR$ es real, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $A$ debe ser nilpotent y $A^2=0$.

La anterior afirmación no se sostiene cuando se $A$ tiene un tamaño más grande. E. g. $$ A=\pmatrix{1&1&i\\ 0&0&-i\\ 0&0&0} \Rightarrow a^p=\pmatrix{1&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0}\ \forall p\ge2. $$