compacidad de un conjunto donde me voy mal

Question

Tengo una prueba de la siguiente falsa hecho :

Deje $E$ ser normativa espacio vectorial. Deje $K \subset E$ ser un conjunto compacto. Entonces el conjunto $B = \{\lambda x \mid \lambda \in \mathbb{R}^+, x \in K \}$ está cerrada (donde $\mathbb{R}^+$ son los números reales positivos incluyendo $0$).

Este hecho es cierto cuando se $0 \not \in K$ pero puede ser falso cuando $0 \in K$. Por ejemplo, tomando el semi-círculo en el plano centrado en $(1,0)$ radio $1$.

Así que he hecho una prueba de este hecho. Mi prueba es, pues, evidentemente, falsa pero no veo donde está el error es :

Deje $(\lambda_n k_n)$ ser una secuencia en $B$ que converge a un vector $x \in E$. Queremos demostrar que $x \in B$.

Desde $K$ es compacto no es $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ estrictamente creciente tal que $(k_{\phi(n)})$ converge a un vector $k \in K$. Si $ k = 0$ , a continuación, la secuencia de $(\lambda_n k_n)$ converge a $0 \in B$ y hemos terminado. Así que podemos suponer $k \ne 0$.

Desde la secuencia de $(\lambda_n k_n)$ converge a $x$ debemos tener $k \in span \{ x \}$. Así que no es $\mu \in \mathbb{R}^*$ tal que $k = \mu x$. A partir de aquí podemos deducir que la secuencia de $(\lambda_n)$ necesariamente converge a $\frac{1}{\mu}$. Sin embargo, desde el $\mathbb{R}^+$ se cierra la secuencia $(\lambda_n)$ converge a un número real positivo, por lo $\frac{1}{\mu} \geq 0$ lo $\mu \geq 0$. Así que la secuencia $(\lambda_n k_n)$ converge al vector $\frac{1}{\mu} k \in B$ desde $k \in K$ e $\frac{1}{\mu} \geq 0$. Por lo tanto $B$ es cerrado.

Así que cuando me va mal aquí ?

Gracias !

Answer 1

En esta situación, intentar aplicar su argumento a la contra-ejemplo que se encuentra, a ver por dónde sale mal.

Tomemos por $K$ el círculo de centro $(1,0)$ y radio de $1$. A continuación, $S := \bigcup_{\lambda \geq 0} \lambda K = \{(0,0)\} \cup (\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R})$. No está cerrada porque uno puede llevar a la familia a$f(t) = (t,1)$, que pertenece a $S$ para $t>0$, y converge a $(0,1) \notin S$ como $t$ va a la $0$.

La correspondiente familia de los parámetros de $\lambda (t)$ e $k(t)$ son:

$$\lambda(t) = \frac{1+t^2}{2t}, \quad k(t) = \frac{2t}{1+t^2} (t,1).$$

Como $t$ va a la $0$, $k(t)$ converge a $0$. Pero $\lambda (t) k(t)$ no converge a $0$, debido a $\lambda(t)$ aumenta lo suficientemente rápido como para compensar la decadencia de $k(t)$.

de ahí su error es no: el hecho de que $(k_n)$ converge a $0$ no implica que $(\lambda_n k_n)$ también converge a $0$, debido a $\lambda_n$ no tiene razón de ser acotada.

Answer 2

Si $ k = 0$ entonces la secuencia $(\lambda_n k_n)$ converge a $0 \in B$ y estamos listos.

Esto está mal. Sabemos que $k_{\phi(n)}\to 0$ , pero $\lambda_n$ puede estar creciendo, por lo que $\lambda_nk_n$ puede converger a un valor distinto de cero.