Un límite con límite cero en todas partes debe ser cero en alguna parte

Question

Me gustaría saber si se cumple lo siguiente:

Deje $f : [\alpha, \beta]\to \mathbb R$ ser una función de manera que $$ \lim_{x\to x_0} f(x) = 0$$ para todos los $x_0 \in [\alpha, \beta]$. A continuación, $f(x) = 0$ para algunos $x\in [\alpha, \beta]$.

El Thomae función del $f: [0,1]\to \mathbb R$

$$f(x) =\begin{cases} 1/q & \text{if }x= p/q\in \mathbb Q, \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$$

me lleva a la pregunta de arriba. El Thomae función tiene límite cero en todas partes, aunque es distinto de cero en $\mathbb Q$. Creo que puedo tomar cualquier contables subconjunto denso $D\subset [\alpha, \beta]$ y construir una función que es distinto de cero en $D$ pero el límite es igual a cero en todas partes. Pero no puedo pensar de una función que es distinto de cero en todas partes, pero tiene límite cero en todas partes.

Answer 1

El número de puntos de $x\in[\alpha,\beta]$ a que $|f(x)|>1/n$, para un fijo $n\in\mathbb{N}$, tiene que ser finito. De lo contrario, ya que el intervalo es compacto, que se acumulan en algún lugar y en ese punto el límite no sería cero.

Por lo tanto, los puntos de $x\in[\alpha,\beta]$ a que $|f(x)|\neq0$ es contable, sino $[\alpha,\beta]$ no (a menos que $\alpha=\beta$ pero que el caso sigue directamente).