En $(n+1)(n-2)x_{n+1}=n(n^2-n-1)x_n-(n-1)^3x_{n-1}$ con $x_2=x_3=1$ definir una secuencia que es integral en los índices primos?

Question

Mi hijo me dio la siguiente fórmula de recurrencia para $x_n$ ( $n\ge2$ ):

$$(n+1)(n-2)x_{n+1}=n(n^2-n-1)x_n-(n-1)^3x_{n-1}\tag{1}$$ $$x_2=x_3=1$$

La tarea que recibí de él:

• La secuencia tiene una propiedad interesante, descúbrela.
• Haz una conjetura y demuéstrala.

Obviamente, tuve que empezar con unos cuantos valores y calcularlos a mano resultó difícil. Así que utilicé Mathematica y definí la secuencia como sigue:

b[n_] := b[n] = n (n^2 - n - 1) a[n] - (n - 1)^3 a[n - 1];
a[n_] := a[n] = b[n - 1]/(n (n - 3));
a[2] = 1;
a[3] = 1;

Y obtuve los siguientes resultados:

$$ a_4=\frac{7}{4}, \ a_5=5, \ a_6=\frac{121}{6}, \ a_7=103, \ a_8=\frac{5041}{8}, \ a_9=\frac{40321}{9}, \\ a_{10}=\frac{362881}{10}, \ a_{11}=329891, \ a_{12}=\frac{39916801}{12}, \ a_{13}=36846277, \ a_{14}=\frac{6227020801}{14}\dots$$

Los números no tienen ningún sentido, pero es extraño que la secuencia produzca valores enteros de vez en cuando. No es algo que esperaba de una definición bastante compleja como (1).

Así que decidí encontrar los valores de $n$ produciendo valores enteros de $a_n$ . Hice un experimento para $2\le n \le 100$ :

table = Table[{i, a[i]}, {i, 2, 100}];
integers = Select[table, (IntegerQ[#[[2]]]) &];
itegerIndexes = Map[#[[1]] &, integers]

...y la salida fue:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Conjetura (bastante sorprendente, al menos para mí):

$a_n$ es un número entero si y sólo si $n$ es primo.

Interesante prueba de primalidad, ¿no? El truco está en demostrar que es correcta. He comenzado con la sustitución:

$$y_n=n x_n$$

...lo que simplifica un poco (1):

$$(n-2)y_{n+1}=(n^2-n-1)y_n-(n-1)^2y_{n-1}$$

...pero no llegué mucho más lejos (el siguiente paso, supongo, debería ser la reordenación).

Answer 1

La ecuación en diferencia dada se puede resolver de la siguiente manera. Tenemos para $n\ge 3$ , $$ (n-2)(y_{n+1}-y_n) = (n-1)^2(y_n-y_{n-1}),\\ \frac{y_{n+1}-y_n}{n-1}=(n-1)\frac{y_{n}-y_{n-1}}{n-2}. $$ Si dejamos que $\displaystyle z_n=\frac{y_{n}-y_{n-1}}{n-2}$ se deduce que $$ z_{n+1}=(n-1)z_n=(n-1)(n-2)z_{n-1}=\cdots =(n-1)!z_3=(n-1)!\frac{3x_3-2x_2}{1}=(n-1)! $$ Esto da $$ y_{n+1}-y_n=(n-1)(n-1)!=n!-(n-1)!, $$ por lo que $y_n = nx_n = (n-1)!+c$ para algunos $c$ . Enchufando $n=2$ produce $2=1!+c$ por lo que tenemos que $$\displaystyle x_n =\frac{(n-1)!+1}{n}.$$

Answer 2

El $n^{\rm{th}}$ término de la secuencia es $\dfrac{(n-1)! + 1}{n}$ que es un número entero si y sólo si $n$ es primo (según Teorema de Wilson ).

Answer 3

Demasiado largo para un comentario:

Los números no tienen ningún sentido

En realidad, lo hacen. :-) Fíjate bien en los denominadores del índice compuesto de la secuencia y observa lo siguiente:

$$ a_{\color{blue}4}=\frac{7}{\color{blue}4},\quad a_{5}=5,\quad a_{\color{blue}6}=\frac{121}{\color{blue}6},\quad a_{7}=103,\quad a_{\color{blue}8}=\frac{5041}{\color{blue}8},\quad a_{\color{blue}9}=\frac{40321}{\color{blue}9},\quad \\~\\~\\ a_{\color{blue}{10}}=\frac{362881}{\color{blue}{10}}, a_{11}=329891,\quad a_{\color{blue}{12}}=\frac{39916801}{\color{blue}{12}},\quad a_{13}=36846277,\quad\dots $$

Reescribamos ahora los elementos indexados de la secuencia de manera similar, para un enfoque más uniforme:

$$ a_{\color{blue}4}=\frac{7}{\color{blue}4},\quad a_{\color{blue}5}=\frac{25}{\color{blue}5},\quad a_{\color{blue}6}=\frac{121}{\color{blue}6},\quad a_{\color{blue}7}=\frac{721}{\color{blue}7},\quad a_{\color{blue}8}=\frac{5041}{\color{blue}8},\quad a_{\color{blue}9}=\frac{40321}{\color{blue}9},\quad \\~\\~\\ a_{\color{blue}{10}}=\frac{362881}{\color{blue}{10}}, a_{\color{blue}{11}}=\frac{3628801}{\color{blue}{11}},\quad a_{\color{blue}{12}}=\frac{39916801}{\color{blue}{12}},\quad a_{\color{blue}{13}}=\frac{479001601}{\color{blue}{13}},\quad\dots $$

En este punto, podríamos hacer trampa, y utilizar OEIS para identificar la secuencia aferente $\color{blue}{b_n=n\cdot a_n}$ por sus primeros elementos, dando lugar a tres posibles sospechosos : pero digamos que nuestra virtud matemática y nuestra integridad intelectual prevalecen sobre nuestros bajos impulsos de curiosidad desenfrenada, y podríamos resistir la tentación de hacerlo. ¿Podríamos entonces, sin ninguna ayuda externa, conseguir deducir una expresión para $b_n$ ? De hecho, incluso una mirada superficial revelará sin duda que el crecimiento se asemeja a lo que uno podría esperar ver en un progresión geométrica en lugar de un aritmética uno. Entonces tenemos:

$$ r_{\color{blue}4}=\frac{25}{7}\simeq\color{blue}4,\quad r_{\color{blue}5}=\frac{121}{25}\simeq\color{blue}5,\quad r_{\color{blue}6}=\frac{721}{121}\simeq\color{blue}6,\quad r_{\color{blue}7}=\frac{5041}{721}\simeq\color{blue}7,\quad\dots $$

En resumen, $\color{blue}{r_n=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\simeq n}.~$ Un tipo de "progresión geométrica modificada", por así decirlo, con un variable relación igual al propio índice: ¿Suena esto de alguna manera familiar ? Si no, no hay que preocuparse: de todas formas, pronto llegaremos al fondo del asunto. Más concretamente, tenemos $\color{blue}{b_{n+1}=n\cdot b_n-(n-1)}.~$ Ahora nos queda demostrar que, para valores primos del índice p, $~\color{blue}{a_p=\dfrac{b_p}p\in\mathbb N},~$ a partir de $\color{blue}{b_2=2}.~$ Podría inducción matemática ¿funciona en este caso, o la distribución aparentemente aleatoria de los números primos echa por tierra este enfoque? Y, si es así, ¿podríamos modificarlo ligeramente para adaptarlo a las nuevas condiciones? ¿Qué diría usted? :-)

Answer 4

Mi proceso para encontrar la solución probablemente implique un salto de fe demasiado grande, pero lo publicaré de todos modos.

En primer lugar, después de escribir al menos 8 términos, me di cuenta de que, aparte de los enteros, todos los términos son de la forma $a_n=?/n$ . Así que, naturalmente, me dirigí a la secuencia $b_n\equiv a_n\cdot n$ que dice así $3, 7, 25, 121, 721, 5041, 40321, \dots$ .

Ahora mi intuición percibe la secuencia de números $504*, 4032*$ que se asemeja al factorial de 7&8, además, muchos de ellos parecen terminar en $1$ . Así que hice una conjetura más que

$$a_n=\frac{(n-1)!+1}{n}.$$

Una rápida comprobación del teorema de Wilson muestra que es compatible con la conjetura original. Por lo tanto, parece que estamos en el camino correcto. Esto se puede demostrar fácilmente por inducción.