Esta afirmación se produce en la prueba de la Proposición 4F.1 en la versión de 2002 (sección "Espectros y la Homología de las Teorías").
No es cierto, porque en general $\Sigma^i X \vee \Sigma^i Y$ tiene celdas de dimensión $ > 2i-1$.
Sin embargo, Hatcher sólo quiere demostrar que
$(\ast)$ $\pi_{n+i}(\Sigma^i X \vee \Sigma^i Y) \approx \pi_{n+i}(\Sigma^i X \times \Sigma^i Y)$ para $n+i < 2i-1$.
Pero ahora Tyrone comentario se aplica.
Por cierto, la siguiente declaración es correcta y es suficiente para demostrar $(\ast)$:
$\Sigma^i X \vee \Sigma^i Y$ e $\Sigma^i X \times \Sigma^i Y$ tienen el mismo $(2i-1)$-esqueleto.
Las células de $ \Sigma^i X \times \Sigma^i Y$ tienen la forma $e \times e'$ con células de $e$ de $\Sigma^i X$ e $e'$ de $\Sigma^i Y$. Tenemos $\dim(e \times e') \le 2i-1$ sólo en el caso de $e = \{ \ast \}$ e $\dim(e') \le 2i-1$ o $e' = \{ \ast \}$ e $\dim(e) \le 2i-1$ porque $\Sigma^i Z$ tiene un $0$-cell $\{ \ast \}$ (el punto de base) y todas las otras celdas de dimensión $\ge i$.
$\Sigma^i X \vee \Sigma^i Y = \Sigma^i X \times \{ \ast \} \cup \{ \ast \} \times \Sigma^i Y \subset \Sigma^i X \times \Sigma^i Y$ se compone de todas las células de la $e \times \{ \ast \}, \{ \ast \} \times e'$ con células de $e$ de $\Sigma^i X$ e $e'$ de $\Sigma^i Y$. Tienen dimensión $\le 2i-1$ si y sólo si su factor no trivial de $e$ resp. $e'$ tiene dimensión $\le 2i-1$.
Esto demuestra la declaración. Tenga en cuenta que puede ser generalizado a la siguiente:
Si $X, Y$ son de CW-complejos con una $0$-celular (siendo el punto de base) y la falta de celdas de dimensión $1,\dots,i-1$, a continuación, $X \vee Y$ e $X \times Y$ tienen el mismo $(2i-1)$-esqueleto.
