mostrando $\mathbb{R}\sim{(0,1)}$

Question

Utilizando la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $$f(x)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{x}{1+|x|}\right)$$ Demostrar que $\mathbb{R}\sim(0,1)$

Creo que es un ejercicio para demostrar la incontabilidad de los dos conjuntos anteriores, aunque el capítulo que estoy leyendo es el de la cardinalidad, así que está claro que encaja. Así que necesito mostrar una biyección. así que para la inyección debo mostrar que $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1}=x_2$$ Así que $$\frac{1}{2}\left(1+\frac{x_1}{1+|x_1|}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{x_2}{1+|x_2|}\right)$$ $$\frac{x_1}{1+|x_1|}=\frac{x_2}{1+|x_2|}$$ $$x_1(1+|x_2|)=x_2(1+|x_1|)$$ $$x_1+x_1|x_2|=x_2+x_2|x_1|$$ Así que ahora la clave es demostrar la igualdad del segundo argumento de esta última afirmación, $x_1|x_2|=x_2|x_1|$ . Así que estaba pensando, $$\frac{|x_2|}{x_2}=\frac{|x_1|}{x_1}\Rightarrow{x_1}|x_2|=x_2|x_1|$$ ¿Es esto válido? Estaba pensando que sí, ya que $$\frac{|x|}{x}= \begin{cases} -1, & \text{if $x\lt0$} \\ 1, & \text{if $x\gt0$} \\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

Answer 1

Se pueden distinguir los casos. Supongamos que $x_1,x_2>0$ . Entonces $$x_1+x_1x_2=x_2+x_2x_1$$ da $x_1=x_2$ . Lo mismo ocurre si $x_1,x_2<0$ . Ahora supongamos que $x_1>0,x_2<0$ . Entonces $$x_1-x_1x_2=x_2+x_2x_1$$ $$x_1-x_2=2x_2x_1$$

Obsérvese que el lado izquierdo es $>0$ y el lado derecho es $<0$ Por lo tanto, esto no puede suceder. Así, $x_2<0<x_1\implies f(x_1)\neq f(x_2)$ . Por lo tanto, habiendo considerado todos los casos posibles, concluimos $f$ es uno-uno.

Answer 2

Puede reescribir $f$ como

$$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac12 \left(1+\frac{x}{1-x}\right) = \frac12 \frac{1}{1-x} , & x\le0 , \\ \frac12 \left(1+\frac{x}{1+x}\right) = \frac12 \left(2-\frac{1}{1+x}\right) , & x\ge0 . \end{array}\right. $$

Ahora se pueden utilizar consideraciones puramente elementales para establecer la monotonicidad de $f$ en ambos intervalos semi-infinitos: Por ejemplo ,

$$ x<x'<0 \Rightarrow -x>-x'>0 \Rightarrow 1-x>1-x'>1 \Rightarrow \frac{1}{1-x}<\frac{1}{1-x'}<1 \Rightarrow f(x)<f(x')<\frac12 . $$

De la misma manera,

$$ 0<x<x' \Rightarrow \frac12<f(x)<f(x').$$ Que $f$ es estrictamente creciente sobre el todo $\mathbb{R}$ se desprende ahora de estas estimaciones (incluidos los límites superior e inferior).

Answer 3

Esto podría ser más sencillo.

Supongamos que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $$ \frac{x_1}{1+|x_1|}=\frac{x_2}{1+|x_2|}\tag{1} $$ Por lo tanto, ya que $1+|x_1|\gt0$ y $1+|x_2|\gt0$ , $$ \mathrm{sgn}(x_1)=\mathrm{sgn}\left(\frac{x_1}{1+|x_1|}\right)=\mathrm{sgn}\left(\frac{x_2}{1+|x_2|}\right)=\mathrm{sgn}(x_2)\tag{2} $$ Además, $$ \frac{|x_1|}{1+|x_1|}=\left|\,\frac{x_1}{1+|x_1|}\,\right|=\left|\,\frac{x_2}{1+|x_2|}\,\right|=\frac{|x_2|}{1+|x_2|}\tag{3} $$ Así, multiplicando ambos lados de $(3)$ por $(1+|x_1|)(1+|x_2|)$ , $$ \begin{align} |x_1|(1+|x_2|)&=|x_2|(1+|x_1|)\\[6pt] |x_1|+|x_1||x_2|&=|x_2|+|x_2||x_1|\\[6pt] |x_1|&=|x_2|\tag{4} \end{align} $$ $(2)$ y $(4)$ demostrar que $x_1=x_2$ y por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Answer 4

En primer lugar, observamos que si uno de $x_1,x_2$ es cero, ellos también deben ser el otro. En otro lugar, escribiendo $|x| = x\, s(x)$ donde $s(x)$ es la función de signo, tenemos :

$x_1+x_1|x_2|=x_2+x_2|x_1| \implies x_1-x_2 = x_1 \, x_2 \, [s(x_1)-s(x_2)]$

• Si $x_1$ y $x_2$ son ambos positivos (o negativos), entonces $x_1=x_2$ .

• Si tienen signos opuestos, el término $[s(x_1)-s(x_2)]$ debe tener el mismo signo que $x_1 - x_2$ Pero $x_1 x_2 < 0$ Por lo tanto, tenemos una contradicción, y esto no puede suceder.

Por lo tanto, $x_1=x_2$