Límite superior para la integral sinusoidal

Question

Para todos los $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ el cardenal función seno de $\text{sinc}(x) = \sin(x)/x$ es trivialmente delimitada por

$$ |\text{sinc}(x)| \le \frac{1}{|x|},$$

desde $\sin(x)\le 1$. Me pregunto si la integral del seno puede asimismo estar delimitado por

$$ \left|\text{Si}(x) - \frac{\pi}{2}\right| = \left|\text{si}(x)\right| \le \frac{1}{|x|} \qquad\forall x>0,$$

donde $\text{Si}(x) = \int_0^x \text{sinc}(y)\,\mathrm{d}y$ e $\text{si}(x) = -\int_x^\infty \text{sinc}(y)\,\mathrm{d}y$. Al trazar los gráficos parece que esto podría ser verdad.

Answer 1

$$\frac{\pi}{2}-\text{Si}(x) = \int_{x}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt = \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(x)\cos(t)+\cos(x)\sin(t)}{x+t}\,dt $ $ debido a la transformada de Laplace, se puede escribir como $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)+s\sin(x)}{1+s^2}\,e^{-sx}\,ds $ $, que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz está limitada por $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-sx}}{\sqrt{1+s^2}}\,ds < \int_{0}^{+\infty}e^{-sx}\,ds=\frac{1}{x},$ $ por lo que su conjetura es correcta.