$ \lim_\limits{n \to \infty}{\frac{10^n+n^2}{n!}} $

Question

PS

¿Alguna pista sobre cómo asumir este límite? No sé cómo tratar con el factorial en el denominador.

Answer 1

Dividir la fracción:${10^n +n^2 \over n!}={10^n \over n!} + {n^2 \over n!}$

Tenga en cuenta que:

${n^2 \over n!}={n \over n-1}{1 \over (n-2)!}$

Ahora$\lim_{n \to \infty}{1 \over (n-2)!}=0$ y$\lim_{n \to \infty}{n \over n-1}=1$, por lo tanto,$\lim_{n \to \infty}{n^2 \over n!}=0$

También por ${10^n \over n!}=\prod_{i=1}^{n}{10 \over i}=\left (\prod_{i=1}^{10}{10 \over i} \right ) \left (\prod_{i=11}^{n-1}{10 \over i} \right){10 \over n}≤\left (\prod_{i=1}^{10}{10 \over i} \right ){10 \over n}$.

Ya que$n≥11$ es una constante y$\left (\prod_{i=1}^{10}{10 \over i} \right )$ como${10 \over n} \rightarrow 0$ obtenemos$n \rightarrow \infty$

Por lo tanto: $\lim_{n \to \infty}{10^n \over n!}=0$