"$f$ es diferenciable en$x_0$" implica ...

Question

Sólo asegurándome de que entendí:

PS

A primera vista no entendí por qué lo anterior es cierto. Es porque (en el caso anterior) podemos decir que$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$; ¿Correcto?

Answer 1

Esto es lo que uso como la definición del derivado. Sin embargo, si define el derivado como$$f'(x_0):=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ $, entonces su declaración es correcta.

Answer 2

He visto la definición escrita como $$ \ frac {dy} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}, $$, que también es equivalente a los formularios discutido anteriormente

Si la definición que ha visto es $$ f '(x_0) = \ lim _ {\ Delta x \ to0} \ frac {f (x_0 + \ Delta x) -f (x_0)} {\ Delta x_0} $$ (o puede llamarlo$h$ en lugar de$\Delta x$) luego puede decir $$ \begin{align} x & = x_0+\Delta x, \\[12pt] \text{so }\Delta x & = x - x_0, \\[12pt] \text{and as }\Delta x & \to0,\text{ then }x \to x_0, \\ \end {align} $$ y una forma se convierte en la otra.