¿Cuándo hace$\mathrm{End}(X)\cong X$?

Question

Noté en la conferencia que para cualquier campo $\mathbb F$ , tome el espacio vectorial unidimensional $V$ sobre $\mathbb F$ y escriba $\mathbb F\cong V\cong V^\ast=\mathrm{Hom}(V,\mathbb F)\cong\mathrm{Hom}(\mathbb F,\mathbb F)=\mathrm{End}(\mathbb F)$ . Este es un caso muy básico, así que me pregunto, en general, ¿para qué tipo de espacios $X$ es $\mathrm{End}(X)\cong X$ ?

Answer 1

No sé a qué te refieres por "espacios", pero aquí hay un muy general de la instalación donde se tiene un isomorfismo de este tipo. Considere la posibilidad de un cerrado monoidal categoría, es decir, una categoría de $M$ con una estructura monoidal $\otimes$ e interior de hom $[-, -]$ el montaje en una contigüidad

$$\text{Hom}(a, [b, c]) \cong \text{Hom}(a \otimes b, c).$$

$\text{Vect}$ es de tal categoría, con $\otimes$ el producto tensor y $[-, -]$ el espacio vectorial lineal de mapas entre dos espacios vectoriales. De manera más general, para $R$ a un anillo conmutativo, $\text{Mod}(R)$ es de tal categoría, con $\otimes$ el producto tensor de más de $R$ e $[-, -]$ la $R$-módulo de $R$-módulo homomorphisms entre dos $R$-módulos.

La proposición: El objeto de la unidad de $1$ siempre satisface $1 \cong [1, 1]$. Más generalmente, cada objeto $b$ satisface $b \cong [1, b]$.

Prueba. Se sigue inmediatamente de la contigüidad $\text{Hom}(a, [1, b]) \cong \text{Hom}(a \otimes 1, b) \cong \text{Hom}(a, b)$ junto con el Yoneda lema. $\Box$

Answer 2

Sea $R$ cualquier anillo (conmutativo, con 1). Luego $\text{End}_{R-\text{modules}}(R) = R$ : cualquier endomorfismo $\phi$ se determina únicamente por $\phi(1)$ desde $\phi(r) = r\phi(1)$ , y $\phi(1)$ puede configurarse en cualquier cosa en $R$ .