Regla de cociente, encontrando un caso especial.

Question

La regla de cociente para las funciones es sencilla:$g(x)/h(x)$

¿Puedo encontrar un par de funciones no constantes donde el cociente de la derivada es la derivada del cociente?

Answer 1

Supongamos que ni$f$ ni$g$ desaparecen. Necesitamos una función tal que $$ f '/ g' = (gf'-fg ') / g ^ 2. $$

Así

$$ g ^ 2f '= gg'f' - f (g ') ^ 2 \ rightarrow g (g'-g) f' = f (g ') ^ 2 \ rightarrow f' / f = \ frac {(g ') ^ 2} {(g'-g) g}, $$ y por tanto $$ \ ln f = \ int \ frac {(g') ^ 2} {(g'-g) g} dx. $$

Poner en$g(x) = e^{-x}$ da$f(x) = e^{x}$ que da el comportamiento deseado.