Después he leído esta pregunta en este Matemática de Intercambio de la Pila, y traté de algunos fallaron los cálculos, he escrito en Wolfram Alpha de la calculadora en línea el código (sqrt(2)/2)^sqrt(2) para obtener como resultado que también este número es trascendente, y por lo tanto irracional.
Antes de este cálculo con Wolfram Alpha, como estoy diciendo era una curiosidad que me preguntaba si es posible deducir o se conocen algunos casos en los que se puede afirmar que $r^{\sqrt{2}}$ es irracional, cuando $$0<r<1$$ is a real number. The only calculations that I did were, on assumption that $p$ and $p$ are positive integers with $\gcd(p,q)=1$, from $$r^{\sqrt{2}}=\frac{p}{q}$$ que $$\sqrt{2}\log r=\log p-\log q.\tag{1}$$ tomando logaritmos. Y, además, si suponemos, por contradicción, que $\sqrt{2}$ es un número racional, puedo escribir la condición de $$\frac{P}{Q}\log r=\log p-\log q,\tag{2}$$ donde $P$ $Q$ son enteros positivos satisfacer $\gcd(P,Q)=1$.
Pero $(1)$ ni $(2)$ no dicen nada para mí.
Pregunta. Imagina que un amigo me pregunta por un razonamiento para obtener ejemplos de números irracionales de la forma $$r^{\sqrt{2}},$$ when the real number $r$ runs on the set $0<r<1$. What is the reasoning that I should be tell my friend? If we want to create simple examples of irrational number of the form $r^{\sqrt{2}}$, ¿cuáles son los requisitos simples/condiciones que deben cumplir los números reales $0<r<1$? Por supuesto, si usted necesita teoremas de la clase de Gelfond-Schneider del teorema, o un enfoque diferente puede combinar con estas declaraciones en el debate de obtener algunos ejemplos de utilización de un razonamiento matemático. Si usted sabe que la literatura puede hacer referencia a ella. Gracias de antemano.
