Más precisamente, ¿existe un número natural$p$ tal que$(2^p-1)/(p+2)$ también sea un número natural? Me parece que este es un problema realmente simple (con la respuesta "no"), pero no pude encontrar nada en la web. Hay algunos datos conocidos sobre la división por$p+1$, pero nada útil para$p+2$.
Respuestas
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Farkhod Gaziev
Puntos
6
Si $p$ es incluso, $p+2$ no se puede dividir $2^p-1$
Otra cosa p es impar.
Si $(p+2)\mid(2^p-1),$ $2^p≡1\pmod{p+2}$ pero $2^{\phi(p+2)}≡1\pmod{p+2}$
Por eso, $\operatorname{ord}_{p+2}2$ debe dividir $(\phi(p+2),p)$.
Si p+2 es primo, $(\phi(p+2),p)=(p+1,p)=1$.
Otra cosa $\phi(p+2)<p$ como en el caso de $\phi(p+2)<p+1$ $\phi(p+2)≠p$ si $p$ es impar prime $\implies(\phi(p+2),p)=1$
Así que si al menos uno de $p$ $p+2$ es impar primo, $\operatorname{ord}_{p+2}2\mid1$ lo cual es imposible.
Cuando ambos están compuestos,
Si $p+2=\prod Q_i^{r_i}$ donde $r_i$s son enteros positivos y $Q_i$ son distintos de los números primos impares,
Como $(p,p+2)=(p,2)=1$ $p$ es impar,
por eso, $(p,Q_i)=1 \implies (p, \phi(p+2))= (p, \prod Q_i^{r_i-1}(Q_i-1))=(p, \prod(Q_i-1))$
Si $Q_i-1=2^{s_i}q_i$ donde $q_i$ es número impar, $(p, \phi(p+2))=(p, \prod(Q_i-1))$ $=(p, \prod q_i)$ $p$ es impar.
Guan
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21
Otra prueba es la siguiente. Primero para$p=2$, sigue porque$2^p-1=3<4=p+2$. Para los números primos impares$p$, existe un teorema (ver Mersenne Prime para la prueba) que indica que cada factor de$2^p-1$ tiene la forma$2kp+1$ para algún entero$k\geq0$. Por lo tanto, queremos un$p$ para el cual$p+2=2kp+1$. No hay tal primo porque para$p>2$, tenemos$1<p+2<2p+1$, por lo que requerimos$0<k<1$, una contradicción con el teorema.
