Esto fue en mi libro de texto. No entiendo muy bien de esto y quiero aclarar que:
Deje $\phi: S_{4} \rightarrow S_{3}$ ser un homomorphism entre la simetría de los grupos. Hay tres formas de dividir el conjunto de los cuatro índices de $\{1,2,3,4\}$ en pares de subconjuntos de orden dos, a saber:
$ \Pi_{1}: \{1,2\} \cup \{3,4\}$
$ \Pi_{2}: \{1,3\} \cup \{2,4\}$
$ \Pi_{3}: \{1,4\} \cup \{2,3\}$.
Un elemento del grupo simétrico $S_{4}$ permutes los cuatro índices, y al hacerlo también permutes estos tres particiones. De esta forma se define el mapa de $\phi$ $S_{4}$ para el grupo de las permutaciones del conjunto {$\Pi_{1}$,$\Pi_{2}$,$\Pi_{3}$}, que es el grupo simétrico $S_{3}$. Por ejemplo, el 4-ciclo de $p = (1,2,3,4)$ actos en los subgrupos de orden dos de la siguiente manera: $$ \{1,2\} \rightarrow \{2,3\}\\ \{1,3\} \rightarrow \{2,4\}\\ \{1,4\} \rightarrow \{1,2\}\\ \{2,3\} \rightarrow \{3,4\}\\ \{2,4\} \rightarrow \{1,3\}\\ \{3,4\} \rightarrow \{1,4\}. $$
Mirando a esta acción, se ve que el $p$ actúa sobre el conjunto {$\Pi_{1}$,$\Pi_{2}$,$\Pi_{3}$} de particiones como el traposition ($\Pi_{1} \Pi_{3}$) que corrige $\Pi_{2}$ e intercambios en $\Pi_{1}$$\Pi_{3}$.
Si $p$ $q$ son elementos de $S_{4}$, el producto $pq$ es el compuesto de permutación $p . q$, y la acción de la acción de la $pq$ en el conjunto {$\Pi_{1}$,$\Pi_{2}$,$\Pi_{3}$} es la composición de las acciones de $q$$p$. Por lo tanto,$\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)$, e $\phi$ es un homomorphism.
El mapa es surjective, por lo que su imagen es la de todo el grupo $S_{3}$. Su núcleo puede ser calculada. Es el subgrupo $S_{4}$ compuesto de la identidad y de los tres productos de distintos transposiciones: K = {${1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$}.
La parte que no entiendo es cómo $p$ actos en los subgrupos de orden 2...
{1,2} $\rightarrow$ {2,3}
{1,3} $\rightarrow$ {2,4} etc. ¿Cómo funcionan? Apenas se parece al azar para mí. Todo después de este punto.. estoy perdido :(
Cualquier ayuda se agradece. Gracias
