Es $(x^2-y^2-1)^2+4x^2y^2 <1$ ¿un conjunto abierto?

Question

Debo responder, para algunos conjuntos, si son: i) abiertos, ii)cerrados, iii)acotados, iv) compactos

Tengo el siguiente conjunto:

$$\{z\in \mathbb{C}; |z^2-1|<1\}$$

si supongo que $z=x+iy$ Entiendo que este conjunto si el conjunto de los reales $x,y$ que satisfagan:

$$(x^2-y^2-1)^2+4x^2y^2 <1$$

Que es esto, según Wolfram Alpha:

Bueno, parece abierto, pero ¿qué pasa con ese punto en el medio? También creo que no es cerrado, así que no es compacto. Sin embargo, es acotado porque puedo encajarlo completamente dentro de una bola abierta

Answer 1

Quizás sea interesante obtener el resultado general. Sea $n$ ser natural, $a$ un verdadero y $P$ un polinomio de $n$ variables. Entonces el conjunto $$S_{a,P}=\{(x_1,...,x_n) : P(x_1,...,x_n)<a\}$$ está abierto en $\mathbb{R}^n$ con la topología habitual. Para darse cuenta de ello, basta con observar que $$S_{a,P} = P^{-1}((-\infty,a))$$ y que $P$ es continua ya que es un polinomio. Por supuesto, se puede sustituir $P$ por cualquier función continua.

Answer 2

Para demostrar que $\{z\in\mathbb{C}: |z^2-1|<1\}$ está abierto, dejemos que $z\in\mathbb{C}$ satisfacer $|z^2-1|<1$ . Queremos demostrar que $$\exists\delta>0: (|h|<\delta\implies |(z+h)^2-1|<1). $$ Tenga en cuenta que $$ ((z+h)^2-1)-(z^2-1) = 2zh+h^2 $$ por lo que por la desigualdad del triángulo $$ |(z+h)^2-1| \le |z^2-1| + |2zh+h^2|. $$ Si escribimos $|z^2-1| = 1-\epsilon$ entonces $\epsilon>0$ por lo que basta con encontrar $\delta>0$ tal que $$ |h|<\delta \implies |2zh+h^2| < \epsilon. $$ Ahora dejemos que $\delta>0$ satisfacer $$ y < \delta \implies 2|z|y+y^2 < \epsilon. $$ (Debe quedar claro que tal $\delta$ existe. Por ejemplo, intente demostrar que $\delta = \min\left(1,\frac{\epsilon}{2|z|+1}\right)$ obras).

Entonces $$ |h| < \delta\implies |2zh+h^2|\le 2|z||h|+|h|^2 < \epsilon $$ como se desee.

Answer 3

La función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definido por $$f(x,y)=(x^2-y^2-1)^2+4x^2y^2$$ es continua. El conjunto $\{x\in\mathbb{R}:x<1\}$ está abierto. Ahora usando el definición técnica de una función continua (que la preimagen de un conjunto abierto es abierta), vemos que $$f^{-1}((-\infty,1))=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x^2-y^2-1)^2+4x^2y^2<1\}$$ es un conjunto abierto.