Mostrar AB=0 no implica ni A,B=0, sino que el singular

Question

Ex. 8.5 - Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (Riley)

Al considerar las matrices $$ A = \left ( \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end {matrix} \right ) \text { , } B = \left ( \begin {matrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \\ \end {matrix} \right ) $$ mostrar que $AB = 0$ no implica que tampoco $A$ o $B$ es la matriz de cero, pero eso implica que al menos uno de ellos es singular.

Entonces, mi razonamiento fue el siguiente:

No es difícil de calcular $AB = \left ( \begin {matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end {matrix} \right ) $ de hecho, incluso está implícito en la pregunta.

Así que, asume que $A, B$ son cada una no-singular - es decir, son invertibles.

Así, $A^{-1}AB=B$ y $ABB^{-1}=A$ .

Pero $AB$ es una matriz de cero, así que $A=B=0$ .

Así se demuestra que la suposición inicial $A, B$ son no singulares es falso.

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¿Es mi razonamiento correcto? Pregunto porque las "pistas y respuestas" decían simplemente "Usar la propiedad del determinante de un producto de la matriz".

Aunque no espero que haya una sola prueba, es un poco desconcertante que sugiera tan rotundamente un método diferente No tengo la suficiente confianza en mi capacidad para ignorarlo.

Answer 1

Su prueba es buena. Un producto $AB$ puede ser la matriz cero con $A$ siendo invertible (o no singular): basta con tomar $B=0$ .

Su tarea es demostrar que de $AB=0$ se deduce que uno entre $A$ y $B$ es singular.

Ahora, si $A$ es invertible, entonces $AB=0$ implica $B=A^{-1}AB=A^{-1}0=0$ Así que $B$ es ciertamente singular. QED

Seguramente no se necesitan determinantes para ello.

Puede probar más: si $AB=0$ y ambos $A$ y $B$ son distintos de cero, entonces ambos son singulares. En efecto, tomemos una columna no nula de $B$ Llámalo $v$ Entonces $Av=0$ y así $A$ es singular. A continuación, aplique lo mismo a $B^TA^T$ , demostrando que $B^T$ es singular.

Answer 2

No hay nada malo en tu prueba. Se puede argumentar que es incluso "más básica" que la determinante.

Answer 3

No hay necesidad de una contradicción. Matriz $C$ es singular si $Cx=0$ para un número de veces que no es cero $x$ . $AB=0$ implica que para cualquier $x\neq 0$ , $ABx=0$ . Si $Bx=0$ , has terminado y $B$ es singular. Si $Bx=y\neq 0$ entonces $Ay=ABx=0$ y $A$ es singular.

Con determinantes: $AB=0$ implica $\det(AB)=\det(A)\det(B)=0$ Así que, o bien $\det(A)=0$ o $\det(B)=0$ o ambos.

Answer 4

Se puede hacer un poco mejor que esto: si $AB=0$ entonces ambos las matrices son singulares, o una de ellas es cero; por supuesto, una matriz cero es singular*. Porque si $AB=0$ , entonces si $A$ es no singular, entonces se tiene $B=A^{-1}AB=A^{-1}0=0$ ; de forma similar para $B$ el no-singular consigue $A=0$ .

*Si como yo, resulta que te importa no ignorar la existencia de matrices sin entradas (lo que ocurre si una o ambas dimensiones son $~0$ ), entonces esto es incorrecto: el $0\times0$ es a la vez no singular (es la identidad) y cero. Pero hay que tener en cuenta que " $AB=0$ implica $A$ o $B$ es singular" también falla para $0\times0$ matrices. Así que la reformulación que he dado, que sigue siendo válida para matrices vacías, es de hecho mejor que la formulación original.