¿Es un Espacio Simplemente Conectado Homotópicamente equivalente a un punto

Question

Si X es un espacio simplemente conectado, ¿es homotópico a un punto del espacio? $ \mathbb{R}^n $ ¿pero sólo por sus propiedades algebraicas se mantiene para topologías generales?

Answer 1

Una esfera de dimensión 2 es simplemente conectada y no es equivalente a un punto.

Un espacio homotópico equivalente a un punto no sólo tiene su grupo fundamental trivial sino también todos sus grupos homotópicos superiores. Hay un famoso teorema de Whitehead que dice que, siempre que el espacio sea lo suficientemente bueno Si el grupo de homotopía es trivial, la contractibilidad está implícita; lo suficientemente bueno significa, por ejemplo, que es un complejo CW.