Subgrupo Frattini de un grupo finito

Question

He estado buscando información sobre el subgrupo Frattini de un grupo finito. Casi todos los libros que tratan este tema hablan de este subgrupo para $p$ -grupos.

De hecho, estoy dispuesto a debatir las siguientes cuestiones:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. ¿Es el subgrupo Frattini de $G$ ¿Abelio?

¿Por qué el orden del factor de Frattini es divisible por cada divisor primo de $|G|$ ?

Answer 1

Aquí se demuestra que, para un grupo finito $G$ , $|G/\Phi(G)|$ es divisible por todos los primos $p$ dividiendo $|G|$ . Utiliza el Teorema de Schur-Zassenhaus. No sé si eso se puede evitar.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que cada Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $\Phi(G)$ es normal en $G$ . (Así, en particular, $\Phi(G)$ es nilpotente). Para ver eso, tenemos $G = \Phi(G)N_G(P)$ por el Argumento Frattini, y luego por el hecho de que $\Phi(G)$ consiste en los no generadores de $G$ tenemos $G = N_G(P)$ .

Ahora bien, si hay un primo $p$ dividiendo $|G|$ pero sin dividir $|G/\Phi(G)|$ entonces $\Phi(G)$ contiene un Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ y $P \unlhd G$ . Entonces, por el Teorema de Schur-Zassenhaus, $P$ tiene un complemento $H$ en $G$ . Sea $M$ sea un subgrupo máximo de $G$ que contiene $H$ . Entonces $p$ divide $|G:M|$ y por lo tanto $p$ divide $|G/\Phi(G)|$ contradicción.

Answer 2

Para encontrar un grupo finito con subgrupo Frattini no abeliano, se necesita un grupo con un subgrupo máximo no abeliano, pero eso no es suficiente. El grupo diédrico de orden 16 tiene un subgrupo máximo isomorfo al grupo diédrico de orden 8, pero el subgrupo Frattini de un grupo no cíclico de orden 16 tiene orden como máximo 4, por lo que es abeliano (es Klein 4 en este caso).

Los ejemplos más pequeños tienen un orden de 64. Un ejemplo particular viene dado por un grupo de matrices: $$G=\left\langle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mod 4\right\rangle \leq \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$$ que es un producto semidirecto de $C_4$ actuando sobre $C_4 \times C_4$ . Su subgrupo Frattini es isomorfo a $C_2 \times D_8$ . La única otra posibilidad para un subgrupo Frattini no abeliano de un grupo de orden 64 es $C_2 \times Q_8$ .

Una de las razones por las que los libros hacen hincapié en los subgrupos Frattini de $p$ -grupos es que tienen una definición muy bonita allí: $\Phi(G) = G^p [G,G]$ . De ahí que los cálculos y teoremas sean mucho más fáciles. En el caso de los grupos solubles, todavía se investigan las propiedades de incrustación relacionadas con el subgrupo de Frattini, y en el caso de los grupos no solubles, quedan abiertas importantes cuestiones.

He dado un respuesta que podría interesarle, describiendo la grupos que pueden darse como subgrupos de Frattini . En particular, algunos grupos no abelianos están en la lista. :-)