¿Cómo puedo resolver este problema de valor inicial utilizando el método de Euler?

Question

Mi Problema es este Problema de Valor Inicial: $$y^{\prime}=\frac{3x-2y}{x}\quad y(1)=0$$ I am looking for a way to solve this problem using the Euler method. I have a given Interval of $[1,2]$ and a given step size $h$ of $h=0.1$

Mi Enfoque fue: no me pueden ver, esta es una Ecuación diferencial de primer orden. Me han dado un estado inicial $y(1)=0$. Así que esto debe ser un problema de valor inicial de primer orden. Para el Método de Euler, tenemos un tamaño de paso de $h>0$. Así que nuestro $0.1$ parece estar bien. Lo siguiente, se debe calcular: $$t_k=t_0+kh, \quad \quad k=0,1,2,\dots $$ Y es en este punto donde creo que estoy atascado. He fallado en el cálculo de este y después de la lectura de las definiciones no tuve éxito en la fabricación de la conexión de este método hacia una solución para mi problema de valor inicial dado, a todos.

Answer 1

Desea utilizar las siguientes relaciones:$$y_{n+1} = y_n + hy'(t_n,y_n)$ $$$t_{n+1} = t_n + h$ $ Establecer$t_0 = 1$ e intentar$h = 0.01$. Luego:$$t_1 = 1.01, \ y(1.01) = y(1.00) + 0.01 \cdot\frac{3\cdot 1.00-2y(1.00)}{1.00} = 0.0300$ $$$t_2 = 1.02, \ y(1.02) = y(1.01) + 0.01 \cdot\frac{3\cdot 1.01-2y(1.01)}{1.01} = 0.0594$ $$$...$ $ Similarmente para$h=0.1$:$$y(1.1) = 0.300, \ y(1.2) = 0.545, \ y(1.3) = 0.754 ...$ $, pero el error máximo ($x \sim 1.5$) es mayor, en $\rm{err} \sim 0.488$, vs.$\rm{err} \sim 0.0048$ para$h =0.01$.

Tenga en cuenta que la solución exacta es$y = x - 1/x^2$, que para grandes$x$ es solo$y\sim x$. Puede mostrar que para una opción determinada de$h$, existe un determinado$x_h$, de manera que el error realmente disminuye después de ese punto.

Answer 2

Se nos da:

$$y'=\dfrac{3x-2y}{x}\quad y(1)=0$$

Intervalo de es $x \in[1,2]$, y un tamaño de paso de $h=0.1$

Tenemos:

• $h = \dfrac{b-a}{N} = .1 = \dfrac{2-1}{N} \rightarrow N = 10$
• $x = a = 1$
• $y(a) = y(1) = \alpha = 0 \rightarrow a = 1, \alpha = 0$

Set:

• $x_0 = 1, x_i = 1 + 0.1 i, y_0 = 0$
• El uso de Euler, tenemos: $y_i = y_{i-1} + hf(x, y) = y_{i-1} + .1\left(\dfrac{3 x_{i-1} - 2 y_{i-1}}{x_{i-1}}\right)$

Para $i= 1$, tenemos:

$x_0 = 1, y_0 = 0, y_1 = y_{0} + .1\left(\dfrac{3 x_{0} - 2 y_{0}}{x_{0}}\right) = 0 + .1 \dfrac{3 (1) - 2(0)}{1.1} = 0.3$

Para $i= 2$, tenemos:

$x_1 = 1.1, y_1 = 0.3, y_2 = y_{1} + .1\left(\dfrac{3 x_{1} - 2 y_{1}}{x_{1}}\right) = 0.3 + .1 \dfrac{3 (1.1) - 2(.3)}{1.1} = 0.5454$

Continuando de esta manera, generamos la tabla:

$~~~~~\text{Step} ~~|~~ x ~~~|~~ y $

• $~~00 ~~| 1.0~~ | 0. $
• $~~01 ~~| 1.1 ~~| 0.3 $
• $~~02 ~~| 1.2 ~~| 0.545455 $
• $~~03 ~~| 1.3 ~~| 0.754545 $
• $~~04 ~~| 1.4 ~~| 0.938462 $
• $~~05 ~~| 1.5 ~~| 1.1044 $
• $~~06 ~~| 1.6 ~~| 1.25714 $
• $~~07 ~~| 1.7~~ | 1.4 $
• $~~08 ~~| 1.8~~ | 1.53529 $
• $~~09 ~~| 1.9 ~~| 1.66471$
• $~~10~~| 2.0~~ | 1.78947 $

La solución exacta está dada por:

$$y(x) = \dfrac{x^3-1}{x^2}$$

En $x=2$, tenemos: $y(2) = \dfrac{7}{4} = 1.75$

Comparar a la de Euler método, que ha $1.78947$.