Valor propio de$L_z$

Question

En la sección 4.3 de "Introducción a la mecánica cuántica" de Griffths, justo debajo de la Figura 4.6, comienza la oración

Deje que$\hbar \ell$ sea el valor propio de$L_z$ en este escalón superior ...

¿Por qué es esto válido? En las páginas anteriores, no hay ninguna derivación de este hecho. No es sorprendente que este valor propio tenga$\hbar$, pero no veo por qué debería esperar que sea un múltiplo entero de$\hbar$.

Answer 1

Cuando inicialmente se establece el autovalor en la parte superior del renglón de a $\hbar l$, no es necesario suponer que $l$ es un número entero, usted puede pensar en él como cualquier multiplicativo constante. Claramente, no hay pérdida de generalidad allí. El bello aspecto de la escalera operador enfoque es que se puede utilizar para demostrar que $l$ debe ser un entero no negativo, o la mitad de entero.

Este argumento es presentado claramente en Griffiths, al menos en la segunda edición (tal vez usted está utilizando la primera edición?). El uso de la escalera de los operadores de $L_+$$L_-$, y las condiciones que debe de ser un peldaño superior y la parte inferior peldaño de la escalera de eigevnalues, automáticamente encontrar que

los autovalores de a $L_z$ $m \hbar$ donde $m$ ... va de $-l$ $+l$ $N$entero de pasos. En particular, se deduce que el $l = -l + N$, y, por tanto,$l = N/2$, lo $l$ debe ser un entero o de medio entero.

Así, la naturaleza de la $l$ que se descubre como una conclusión, no hay ninguna suposición inicial.