Integral compleja (problemas diversos)

Question

Demuestre que para$-1<p<1$,$$ \int_0^{\infty} \frac{\cos(px)}{\cosh x} \,dx = \frac{\pi}{2\cosh(p\pi/2)}.$ $

Hago LS a$$\frac{e^{ipx}+e^{-ipx}}{e^{x}+e^{-x}}$ $ y no puedo acercarme al siguiente paso.

Answer 1

Considere la posibilidad de

$$f(z) = \frac{e^{i pz}}{\sinh(z)}$$

Si integramos alrededor de un contorno de altura $\pi $ y se extienden hasta el infinito obtenemos

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Tomando $ T \to \infty $

$$\color{red}{\int^{i\pi/2+\infty}_{-i\pi/2+\infty}f(x)\,dx}+\color{blue}{\int^{i\pi/2-\infty}_{i\pi/2+\infty}f(x)\,dx}+\\\color{red}{\int^{-i\pi/2-\infty}_{i\pi/2-\infty}f(x)\,dx}+ \color{blue}{\int^{-i\pi/2+\infty}_{-i\pi/2-\infty}f(x)\,dx} = 2\pi i \mathrm{Res}(f,0)$$

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Considere la posibilidad de

$$\color{blue}{\int^{-i\pi/2+\infty}_{-i\pi/2-\infty}\frac{e^{ipx}}{\sinh(x)}\,dx}$$

Deje $x = -\pi i/2+y $

$$ i e^{\frac{\pi p}{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ipy}}{ \cosh(y)}\,dy$$

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Igualmente tenemos para

$$\color{blue}{\int^{i\pi/2-\infty}_{i\pi/2+\infty}\frac{e^{ipx}}{\sinh(x)}\,dx}$$

Dejando $ x =\pi i/2+ y $

$$ i e^{-\frac{\pi p}{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ipy}}{ \cosh(y)}\,dy$$

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El otro integrales vaya a 0 por lo tanto

$$i \left(e^{\frac{\pi p}{2}}+e^{- \frac{\pi p}{2}} \right)\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ipy}}{ \cosh(y)}\,dy =2\pi i \mathrm{Res}(f,0)$$

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Calcular el residuo que tenemos

$$\mathrm{Res}(f,0) = \lim_{z \to 0} z\frac{e^{ipz}}{\sinh(z)} = \lim_{z \to 0}\frac{e^{ipz}}{\cosh(z)} = 1$$

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El uso que podemos obtener

$$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ipy}}{ \cosh(y)}\,dy =\frac{2\pi}{e^{\frac{\pi p}{2}}+e^{- \frac{\pi p}{2}}} $$

Tomando la parte real

$$\boxed{\int^{\infty}_{0}\frac{\cos(py)}{ \cosh(y)}\,dy =\frac{\pi}{2} \, \mathrm{sech}\left( \frac{\pi}{2} p\right)}$$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar una puramente real enfoque de análisis.

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\cos(px)}{\cosh(x)}\,dx&=2\int_0^\infty \frac{e^{-x}\cos(px)}{1+e^{-2x}}\,dx\tag 1\\\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\int_0^\infty e^{-(2n+1)x}\cos(px)\,dx\tag 2\\\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2+p^2} \tag 3\\\\ &=\frac{\pi}{2}\text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)\tag 4 \end{align}$$

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NOTAS:

En lo que va de $(1)$$(2)$, ampliamos $\frac{1}{1+e^{-2x}}$ en una serie geométrica y de intercambiar el orden de la serie e integral. Convergencia uniforme garantiza la legitimidad de intercambiar el orden de las operaciones.

En lo que va de $(2)$$(3)$, se llevó a cabo la integral.

En lo que va de $(3)$$(4)$, hemos hecho uso del análisis en ESTA RESPUESTA, en la que he desarrollado la fracción parcial de la representación de $\sec(\pi a/2)$.

Luego, simplemente señaló que para $a=ip$ obtenemos

$$2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{2n+1}{(2n+1)^2+p^2}=\frac{\pi}{2}\sec(i\pi p/2)=\frac{\pi}{2}\text{sech}(\pi p/2)$$

Answer 3

Intente cambiar los límites de la función de acuerdo con el valor de p para cosh y cos y sustituya.