¿Cómo entender este tipo de equivalencia?

Question

Cuando hacemos un estudio de estructuras algebraicas siempre existe la noción de "isomorfismo", que intuitivamente significa que dos instancias de la misma estructura algebraica son "algebraicamente indistinguibles". Por ejemplo, cada espacio vectorial real de dimensión $n < \infty$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$. Este tipo de equivalencia creo entender.

Aquí es otra ligeramente diferente (en mi opinión) clase de equivalencia creo entender: El principio de inducción matemática es equivalente al principio de buena ordenación. Hasta algunos detalles (es decir, intuitivamente), esto significa básicamente que ambos principios tienen "las mismas consecuencias" en el formal axiomática del sistema (de nuevo, vaga pero puede ser completamente formalizado). En la misma vena: Axioma de elección es equivalente al lema de Zorn. Muchas de las declaraciones equivalente al postulado Paralelo en la Geometría Euclidiana, etc.

Aquí es una clase de equivalencia no entiendo.

1. "Un grupo es la misma cosa como una categoría con un objeto exactamente y tal que todos los morfismos es un isomorfismo".
2. "Considere la posibilidad de $R$ un anillo conmutativo con identidad. Un $R$-módulo es la misma cosa como un grupo abelian $M$ junto con un anillo de homomorphism $\varphi: R \to End(M)$."
3. Supongamos $A,B$ anillos conmutativos con la identidad. Un anillo de $B$ junto con un anillo de homomorphism $\varphi:A \to B$ es la misma cosa como una $A$-álgebra.

Los tres conceptos de "definido" por encima de su "definición estándar" como un conjunto con alguna estructura adicional.

Los tres ejemplos son muy diferentes de los anteriores ejemplos de equivalencia. "Sé" lo que estas frases significan, pero no los entiendo.

Me puede mostrar, por ejemplo, que dada una categoría $C$ en el que todos los morfismos es un isomorfismo y tal que $C$ tiene un solo objeto, el conjunto $Hom(C)$ es un grupo. Por el contrario, dado un grupo de $G$ I puede definir una categoría con sólo uno (formal) de objetos y en el que las flechas son los elementos de $G$, la composición de las flechas es la multiplicación de los elementos de la $G$, esto constituye una perfecta categoría. Pero esta es la intuición que tengo sobre esto.

¿Por qué las anteriores equivalencias útiles? ¿Cómo puedo entender mejor? ¿Cuál es el punto de, por ejemplo, "definir" un grupo como una categoría especial? Es sólo para mostrar la "fuerza expresiva" de nuestro lenguaje nuevo? Es esta noción de equivalencia formalizado en algún idioma (categoría de teoría, tal vez)?

He estado estudiando la categoría de teoría para algunas semanas y no veo la utilidad de ser capaces de definir un grupo como una categoría. Esto me hace un poco frustrada porque es un ejercicio de cada libro en la categoría de teoría, me mira y yo no completamente véase el punto central de la misma.

Sé que mi pregunta es vaga, agradezco cualquier comentario.

Gracias.

Answer 1

Los tres elementos numerados puede ser formalizado como una equivalencia de categorías que es algo que debe ser cubierto por cualquier libro de introducción a la categoría de teoría. Por ejemplo, el número 2 se puede expresar como:

Deje $RMod$ denotar la categoría de grupos, y $C$ la categoría de abelian grupos $M$ con un anillo homomorphism $R \to \mathrm{End}(M)$ (con morfismos en $C$ siendo definido por morfismos $M_1 \to M_2$ que hacer un natural diagrama conmuta). A continuación, hay una canónica de la equivalencia de las categorías de $RMod \simeq C$.

(La noción de equivalencia de categorías es la forma más natural para generalizar la noción de isomorfismo a la situación de las categorías. En el ejemplo de arriba, dependiendo de las definiciones exactas de functors $RMod \to C$$C \to RMod$, las composiciones no necesariamente te da , literalmente, el mismo objeto - y de acuerdo a la filosofía de la categoría de teoría, eso está bien: el objeto exacto no es importante, sólo el isomorfismo de la clase. Por lo tanto, lo realmente importante es que se trata de un objeto que es isomorfo al objeto original, en una forma "natural" - en el que la definición de "natural" es, históricamente, la idea clave que hizo categoría de la teoría de la realidad comienza a ser interesante y útil.)

En cuanto al punto de equivalencia en el #1: por ejemplo, que le permita aplicar cualquier teorema acerca de las categorías, o acerca de groupoids en particular, y obtener un teorema acerca de los grupos.