¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son separables?

Question

cuál de las siguientes métricas espacios son separables?

1. $C[0,1]$ con la costumbre de 'sup de la norma métrica.

2. el espacio de $l_1$ de todos absolutamente convergente real secuencias, con la métrica $$d_1(a_i,b_i)=\sum_{1}^{\infty}|a_i-b_i|$$

3. El espacio de $l_{\infty}$ de todos los delimitada real de secuencias con la métrica $$d_{\infty}(a_i,b_i)=\sup|a_i-b_i|$$

Así, el 1 es divisible como los polinomios son densos en $C[0,1]$ por lo que se puede construir un conjunto de polinomio con coeficientes racionales que va a ser una contables denso conjunto para $C[0,1]$

No tengo idea acerca de 2,3 .

Bien, junto con esta pregunta sólo quiero pedir a La bola unidad cerrada es compacta, con respecto a $l_1$ métrica? Supongo que no, porque la Secuencia de $e_1=(1,0,\dots),\dots e_n=(0,0,\dots,1(nth place),0,0\dots)$ este seqquence no tiene convergente larga así que no es secuencialmente compacto. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Otra posibilidad para (3): tienes$F=\{0,1\}^{\mathbb{N}} \subset \ell_{\infty}$ y además para todos$x,y \in F$, si$x \neq y$ entonces$d(x,y) =1$. Así que$\{B(x,1),x \in F\}$ es una familia de conjuntos abiertos desunidos mientras que$F$ es incontable.

Answer 2

CONSEJOS:

Para (2), observe que si$x\in\ell_1$, entonces los términos de$x$ convergen a$0$. Considere las secuencias que tienen términos racionales que eventualmente son$0$.

Para (3), deje que$D=\{x_n:n\in\Bbb N\}$ sea un subconjunto contable de$\ell_\infty$. Para cada$n\in\Bbb N$, elija$y(n)\in[0,1]$ para que$|y(n)-x_n(n)|\ge\frac12$. Dejar $y=\langle y(n):n\in\Bbb N\rangle$; ¿Está$y$ en el cierre de$D$?