¿Cuántas permutaciones de una palabra no contienen vocales consecutivas?

Question

La palabra es "INGENIERÍA".

¡El número de formas en que se pueden ordenar las consonantes es 6! / 3!2!

¡El número de formas en que se pueden ordenar las vocales es 5! / 3!2!

Pero, ¿cómo podría determinar de cuántas maneras se pueden ordenar las vocales para que no estén una al lado de la otra?

Answer 1

Imagina que ordenas primero las consonantes. Hay seis consonantes que puedes ordenar en $6!/(3!2!)$ formas.

Ahora hay 7 espacios para que vayan las 5 vocales, pero sólo puede ir una vocal en cada espacio. Así que eliges 5 de los 7 espacios disponibles y pones una permutación de las vocales en estos espacios.

Número total de arreglos sin vocales consectutivas $= 6!/(3!2!) \times 5!/(3!2!) \times \binom{7}{5}$ .

Answer 2

(edición: Se ha actualizado la respuesta para incluir cuatro combinaciones perdidas y el hecho de que las permutaciones no se consideran únicas si su ortografía coincide con la de otra permutación).

12345678901  (11 letters in ENGINEERING)
C.C.C.C.C.C (alternating sequence, bounded on both sides by C)
.C.C.C.C.CC  (start single consecutive C pair, one end bounded by C)
.C.C.C.CC.C
.C.C.CC.C.C
.C.CC.C.C.C
.CC.C.C.C.C
CC.C.C.C.C.
C.CC.C.C.C.
C.C.CC.C.C.
C.C.C.CC.C.
C.C.C.C.CC. (count: 10)
.CC.CC.C.C. (start double consecutive C pair)
.CC.C.CC.C.
.CC.C.C.CC.
.C.CC.CC.C.
.C.CC.C.CC.
.C.C.CC.CC. (count: 6)
.CCC.C.C.C. (start triple C string)
.C.CCC.C.C.
.C.C.CCC.C.
.C.C.C.CCC. (count: 4)

En todos estos formatos, hay 6! / (3! 2!) formas de ordenar las C (es decir, las consonantes) y 5! / (3! 2!) formas de ordenar las . (es decir, las vocales), por lo que debería haber (21)(6! / 3! 2!)(5! / 3! 2!), o 12.600, permutaciones en las que no hay vocales adyacentes.