La Ecuación Diferencial En La Distribución

Question

Necesito encontrar todos los $u \in \mathcal{D}'$ ( el espacio de las distribuciones) tales que

$ e^x (e^{-x} u ) ' = \delta_0 +1$.

Para cualquier $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ hemos

$\langle e^x (e^{-x} u ) ' , \phi \rangle = \langle \delta_0 +1, \phi\rangle$ , por lo que

$\langle u , e^{-x}(e^x\phi) ' \rangle = \phi(0)+ \langle 1, \phi\rangle$

$\langle u , \phi+\phi ' \rangle = \phi(0)+ \langle 1, \phi\rangle$.

$\langle u , \phi\rangle+\langle u, \phi ' \rangle = \phi(0)+ \langle 1, \phi\rangle$.

¿Cómo debo seguir desde aquí ?

Gracias.

Answer 1

Usted tiene la ecuación de $$e^x(e^{-x}u)'=\delta_0+1.$$ El primer paso es notar que la función de $x\to e^{x}$$C^\infty$, estrictamente positivos en todas partes, por lo tanto se puede dividir por ambos lados de la ecuación, sin producir y/o perder soluciones. Por lo tanto, obtenemos

$$ (e^{-x}u)'=e^{-x}\delta_0+e^{-x}=\delta_0+e^{-x}.$$

Es fácil tomar la antiderivada de la mano derecha: si $H$ es la función de Los e $c\in \Bbb C$, obtenemos $$e^{-x}u = H(x)-e^{-x}+c.$$

Por un argumento similar se puede dividir por $e^{-x}$ obtener $$ u = H(x)e^{ x}-1+ce^{ x}.$$