Podemos *nunca* el uso de ciertos log/exp identidades en el complejo caso?

Question

Este artículo en la Wikipedia señala que ciertas identidades para el registro y funciones exponenciales que conoce de la verdadera caso de necesitar cuidado cuando se utiliza en el caso complejo. Los fallos en los siguientes identidades señaló

$$\log{z^w} \equiv w \log {z}\\(zw)^{\omega}\equiv z^{\omega}w^{\omega}\\e^{zw} \equiv (e^z)^w$$

El artículo se refiere al hecho de que las identidades no siempre funciona, incluso si las consideramos como una afirmación acerca de la igualdad de conjuntos (y considerar las funciones como multivalor).

Ahora, ¿cómo podemos trabajar con estas identidades sin que conduce a nosotros mismos en el error? Es la respuesta simplemente nunca emplearlos en la presencia de un complejo de la base o el exponente? A veces veo los usos de estas identidades; he aquí un ejemplo:

Aquí está una página escaneada de Schaum del contorno en el complejo de variables que muestra cómo evaluar el $\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx$ con un ojo de la cerradura de contorno (para $0<p<1$). Como de costumbre, en el camino de regreso, tenemos que configurar la ruta de acceso como $z = e^{2\pi i}x$, $x\in \mathbb{R}$, en lugar de simplemente $z=x$. Ahora, cuando el autor exponentiates este término, se utiliza el $(x e^{2\pi i})^{p-1}=x^{p-1}e^{2\pi i(p-1)}$, el empleo de la segunda identidad de arriba. Lo que justifica, dado que la identidad no se sostiene en general?

Answer 1

Por definición, $z^w = e^{w \log(z)}$ (de cualquier rama de $\log(z)$), por lo que $$ \log(z^w) = w \log(z) + 2 \pi i n$$ para algunos entero $n$. Si, por ejemplo, está utilizando la rama de $\log$ que tiene parte imaginaria en $(\alpha, \alpha + 2 \pi]$, elige $n$, de modo que la parte imaginaria es en ese intervalo.

Del mismo modo, $(zw)^\omega = e^{\omega \log(zw)}$, e $\log(zw) = \log(z) + \log(w) + 2 \pi i n$ para el adecuado entero $n$, por lo que $$(zw)^\omega = e^{\omega(\log(z) + \log(w) + 2 \pi i n)} = e^{2 \pi i n \omega} z^\omega w^\omega $$

Y $$(e^z)^w = e^{w \log(e^z)} = e^{w (z + 2 \pi i n)} = e^{2 \pi i n w} e^{wz}$$

EDIT: En Schaum del ejemplo, es incorrecto escribir $z = e^{2 \pi i} x$ (que sería el mismo que $x$), es realmente $e^{(2 \pi - \epsilon) i} x$ donde $\epsilon > 0$ es arbitrariamente pequeño. A continuación, $\log(z) = \log(x) + (2 \pi - \epsilon) i$ (para la rama de registro con parte imaginaria en $[0, 2 \pi)$), y $$z^{p-1} = e^{(p-1)\log(z)} = e^{(p-1)\log(x) + (p-1)(2\pi - \epsilon) i} = x^{p-1} e^{(p-1)(2\pi - \epsilon) i}$$

Answer 2

Debería haber pensado un poco antes de hacer la pregunta tonta en mi comentario. Yo también debería haber buscado en su enlace. Claramente si $p$ fueron un entero no estaríamos haciendo el problema de esta manera, en el primer lugar.

Tenga en cuenta que el mapa de $z\mapsto z^p$ es de varios valores. Cuando escribimos $z^p=r^pe^{i\theta p}$ ($\theta$ supone que yacen en $(0,2\pi)$ según lo sugerido por nuestro contorno), puede parecer que estamos aplicando la identidad de $(xy)^p=x^py^p$ $z=re^{i\theta},$pero lo que realmente estamos haciendo es tomar la decisión en cuanto a que el valor de $z^p$ vamos a tomar. Los valores reales de a $z^p$ $r^pe^{i\theta p}e^{2\pi inp}.$ Lo que estamos haciendo es elegir a $n=0.$

¿Por qué hacemos esta elección? Bueno, queremos que los valores de $z^p$ a de acuerdo con los valores de la función real $x^p$ cuando estamos en la pieza de la curva de nivel que se encuentra justo sobre el eje real, que se hace a si $n=0$ desde $\theta$ está cerca de a$0.$, por supuesto, hemos de utilizar la misma elección a lo largo de todo el contorno ya que no queremos que nuestra función tiene las discontinuidades. Si usted piensa acerca de ello, es por eso que tenemos que quitar el real positiva del eje de nuestro contorno: una vez que se vayan $360^\circ$ o más en torno al origen, que necesariamente va a encontrar el multivaluedness de $z^p.$

Answer 3

Podemos nunca utilizar ciertas log/exp identidades en el complejo caso?

Dos respuestas:

1. Podemos nunca los uso? Sí.

2. Podemos ciegamente uso de ellos? No.

Por ejemplo: Que el cálculo de Schaum puede ser hecho a lo largo de esas líneas. Mediante la aplicación de estas identidades cuidadosamente. No por la aplicación de ellos a ciegas.