expansión de Fourier j-invariante

Question

Estoy leyendo sobre la expansión de Fourier de las funciones modulares, pero tengo problemas para entender la siguiente ecuación:

¿Es una propiedad inherente al denominador, tal como es?

Answer 1

Como explicó el usuario8268 en los comentarios, cualquier serie de potencia $1+a_1x+a_2x^2+\dots$ con coeficientes integrales y el término constante 1 tiene una inversa con coeficientes integrales. Se puede utilizar la expansión agradable para $(1+a_1x+a_2x^2+\dots)^{-1}$ dado por $$\frac{1}{1-(-a_1x-a_2x^2-\ldots)} = 1 + (-a_1x-a_2x^2-\ldots) + (-a_1x-a_2x^2-\ldots)^2 + \ldots$$

No obtendremos una serie integral de potencias para $(a_0+a_1x+a_2x^2 + \ldots)^{-1}$ si el término principal $a_0$ no es invertible; tendremos $$\frac{1}{a_0} + \frac{(-a_1x-a_2x^2-\ldots)}{a_0{}^2} + \frac{(-a_1x-a_2x^2-\ldots)^2}{a_0{}^3} + \ldots$$ Pero puedes ver que los únicos denominadores que obtenemos son potencias de $a_0$ .