Determinar un número es trascendental/algebraicas

Question

Determinar: $(0.064)^{\frac{1}{3}}$ es trascendental o algebraicas

Para mostrar un número es trascendental/algebraicas necesito mostrar que hay un monic polinomio con coeficientes enteros tales que el número es/no es su raíz ?

en este caso:

$x=(0.064)^{\frac{1}{3}}\iff x=\frac{2}{5}\iff x-\frac{2}{5}=0$

¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Un número $y$ es algebraico si satisface un polinomio $p(\alpha)$ tener los números racionales como los coeficientes; es decir, si $p(y) = 0$ donde $p(\alpha) \in \Bbb Q[\alpha]$. Tenga en cuenta que podemos, de hecho, asumen $p(\alpha)$ es monic, ya $p(y) = 0$ si y sólo si $\lambda^{-1} p(y) = 0$ donde $\lambda \in \Bbb Q$ es la principal coeficiente de $p(\alpha)$; claramente $rp(\alpha) \in \Bbb Q[\alpha]$ cualquier $r \in \Bbb Q$.

Estas cosas de ser el caso, en el presente caso tenemos

$x = (.064)^{1/3}, \tag{1}$

$x^3 =.064, \tag{2}$

de dónde

$x^3 - .064 = 0; \tag{3}$

tenga en cuenta que

$.064 = \dfrac{64}{1000} = \dfrac{16}{250}$ $= \dfrac{8}{125} \in \Bbb Q; \tag{4}$

así

$x^3 - \dfrac{8}{125} = 0; \tag{5}$

$x$ por lo tanto es algebraico sobre $\Bbb Q$, satisfactorio como lo hace el polinomio cúbico

$\alpha^3 - \dfrac{8}{125} \in \Bbb Q[\alpha]. \tag{6}$

Answer 2

Un monic polinomio con racional de los coeficientes, o cualquier polinomio con coeficientes enteros.

Por ejemplo, $5x^3 -29x^2+3x+11 = 0$ tiene coeficientes enteros, y es equivalente a $x^3 - \frac{29}5 x^2 + \frac 3 5 x + \frac{11}5 =0\vphantom{\dfrac11}$, que es monic y ha racional de los coeficientes.

Para el caso, un no-monic polinomio con coeficientes racionales pueden servir. Por ejemplo, si usted tiene $\frac 7 6 x^3 + \frac 3 8 x^2 + 5x + \frac 1 2 = 0\vphantom{\dfrac11}$ se observa que el mínimo común múltiplo de los denominadores $6$, $8$, y $2$$24$, y multiplicando ambos lados por que, te $28x^3 + 9x^2 +120x + 12 =0\vphantom{\dfrac11}$, y, a continuación, si usted quiere ser monic, solo hay que dividir cada término en ambos lados por $28$.

Answer 3

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

Un número es algebraico si es una raíz de un no-cero del polinomio con coeficientes racionales. No hay ninguna demanda que el polinomio ser monic.