Problema de Brezis del libro (mollifiers)

Question

Cualquier idea sobre cómo empezar con esto?

Deje $\rho \in L^1(\mathbb{R}^N)$$\int \rho=1$. Set $\rho_n(x)=n^N \rho(nx)$. Deje $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$. Mostrar que $\rho_n \star f \to f$$L^p(\mathbb{R}^N)$.

La prueba del Teorema 4.22 casi ir a través de este caso. El problema es que yo no sé nada acerca de la compatibilidad de la $\rho_n$'s.Este parece ser crucial para la prueba de la Proposición 4.21 que se utiliza para demostrar el teorema.

Answer 1

Ok, así que por lo que deduzco debe proceder de la siguiente manera:

Definir $$ \bar \rho = \frac{I_{B(R)} \: \rho}{\|I_{B(R)} \: \rho\|_1}, $$ donde $R>0$ es tal que $\int_{\mathbb{R}^N \setminus B(R)} \rho < \epsilon$. Luego escribo

$$ \| \rho_n \estrellas f - \bar \rho_n \estrellas f + \bar \rho_n \estrellas f -f \|_p \leq \| \rho_n \estrellas f - \bar \rho_n \estrellas f \|_p + \| \bar \rho_n \estrellas f -f \|_p $$ $$ \leq \| \rho_n - \bar \rho_n\|_1 \|f\|_p + \| \bar \rho_n \estrellas f -f \|_p $$

et cetera