Cómo generar eficientemente un conjunto de números uniformemente distribuidos que sumen $n$ .

Question

Necesito una solución más generalizada para este problema.

Tengo un generador de números aleatorios que genera números del 0 al 1. Usando esto, quiero encontrar $r$ números que se suman a $n$ . ¿Cómo puedo hacer esto de manera eficiente y de forma que los números se distribuyan uniformemente?

Para mi caso concreto, necesito poder generar $6$ números que suman $2\pi$ .

Editar: He pensado en utilizar posiblemente el mismo método de la otra pregunta, pero multiplicando el conjunto final de números por $2\pi$ . ¿Estaría esto uniformemente distribuido? Y si es así, ¿cómo se puede demostrar (aunque esto es sólo por curiosidad)?

Answer 1

Como tus números aleatorios deben sumar n, deben ser dependientes, pero entonces no tiene mucho sentido porque podrías dejar que uno de ellos fuera $X \sim U([0,a])$ y el resto todo sea $\frac{1}{r-1}(n-X) \sim U([\frac{n-a}{r-1},\frac{n}{r-1}])$ para cualquier $a \ge 0$ . Todas ellas están ciertamente uniformemente distribuidas pero son bastante inútiles como números aleatorios, al igual que en el método de soakley, ya que no tiene sentido tener dos o más variables aleatorias que estén tan directamente relacionadas.

Answer 2

Hay una manera fácil de hacerlo cuando $r$ es incluso mediante el uso de pares correlativos. Por lo tanto, para su problema, aquí es cómo:

Generar $X_1 \sim \textrm{Unif}[0,{2 \pi \over 3}]$ y $X_2 = {2 \pi \over 3} - X_1.$ Del mismo modo, generar $X_3 \sim \textrm{Unif}[0,{2 \pi \over 3}]$ y $X_4 = {2 \pi \over 3} - X_3.$ Por último, haz lo mismo con el tercer par, con $X_5 \sim \textrm{Unif}[0,{2 \pi \over 3}]$ y $X_6 = {2 \pi \over 3} - X_5.$ Cada par suma ${2 \pi \over 3},$ y la suma de los 6 es $2 \pi$ según sea necesario.

Por último, cada una de las variables aleatorias componentes tiene una distribución uniforme en $[0,{2 \pi \over 3}].$

Answer 3

Esta es otra forma que se puede generalizar a $r$ números. Mostraré la construcción para 6 números que suman 1. Para ver el mismo método con $r=5,$ mira el enlace en la primera línea de la pregunta.

Generar $V$ como Uniforme $[0,{1 \over 3}].$

Dejemos que $$ W = \begin{cases} V+{1/15} \ , & \text{if} \ V \le {4/15} \\ V-{4/15} \ , & \text{if} \ V \gt {4/15} \end{cases} $$

$$ X = \begin{cases} V+{2/15} \ , & \text{if} \ V \le {3/15} \\ V-{3/15} \ , & \text{if} \ V \gt {3/15} \end{cases} $$ $$ Y = \begin{cases} V+{3/15} \ , & \text{if} \ V \le {2/15} \\ V-{2/15} \ , & \text{if} \ V \gt {2/15} \end{cases} $$

$$ Z = \begin{cases} V+{4/15} \ , & \text{if} \ V \le {1/15} \\ V-{1/15} \ , & \text{if} \ V \gt {1/15} \end{cases} $$

$$U = 1-V-W-X-Y-Z.$$

Answer 4

Me disculpo por la respuesta ingenua, pero no lo entiendo: ¿Por qué no elegir una forma modificada de la sugerencia del autor de la pregunta? ¿Por qué no se pueden generar N números de la distribución, y luego simplemente normalizar multiplicando cada uno por la relación de (suma_deseada/suma_real_de_los_números)?

No soy un tipo de matemáticas, pero ¿por qué no funciona esta respuesta? Lo mejor es que lo más seguro es que sigan distribuidos uniformemente (Casi seguro $C \times \operatorname{Unif}[0,1] $ es $\operatorname{Unif}[0,C]$ ), aunque en una región diferente (nota: basta con multiplicar por $2\pi$ es insuficiente, ya que no hay garantía de que los números sumen $1$ de hecho, eso sería un milagro).