Tengo un 2-indexada secuencia $F^n_m$ donde $n,m$ son números naturales y estoy preocupado por el comportamiento como $n\to\infty$ y/o $m\to\infty$. La secuencia se expresa como
$$F^n_m=\prod_{k=1}^na_{mk}$$
Para cada finito $n$ $k$ $m \to \infty, a_{mk}$ converge a un número finito distinto de cero límite, decir $a_{\infty k}$ y por lo tanto
$$F^n_\infty=\lim_{m \to \infty}F_m^n=\prod_{k=1}^na_{\infty k}$$
existe y es finito como finito producto de la convergencia de las secuencias. Ahora, si nos vamos a $n \to \infty$ me han demostrado que
$$F=\lim_{n \to \infty} F_{\infty}^{n}$$
existe y es expresable como la correspondiente infinito producto (que es por la forma en que la representación de los productos de Riemann zeta función). Mi pregunta es ¿qué sucede cuando nos acercamos al límite dejando $n \to \infty$ primero y, a continuación,$m \to \infty$. De hecho no he encontrado una forma cerrada para
$$F_m^\infty=\lim_{n \to \infty}F_m^n=\prod_{k=1}^{\infty}a_{mk}$$
y no sé si incluso converge. Existen condiciones bajo las cuales se puede hacer que, a continuación, tomar el límite de $m \to \infty$ y llegar a la misma respuesta?
¿Y si nos acercamos a $\infty$ "en diagonal"? Por eso me refiero a que dada una estrictamente creciente secuencia $p(m)$ de los números enteros y considerar
$$\lim_{m \to \infty} F_m^{p(m)}$$
Vamos a obtener un valor que depende de la $p$ o el mismo valor para todas estas secuencias? Y bajo qué condiciones? Hay un teorema que establece que el producto infinito
$$\prod_{k=1}^\infty(1+b_k)$$
converge o diverge de acuerdo a la suma
$$\sum_{k=1}^\infty b_k$$
pero no acababa de hacerlo...
Estoy buscando riguroso, así como la no-tan-enfoque riguroso, cualquier cosa, de verdad!
