Cuáles de los siguientes son Densos en $\mathbb{R}^2$?

Question

Cuál de los siguientes conjuntos son densos en $\mathbb R^2$ con respecto a la topología usual.

1. $\{ (x, y)\in\mathbb R^2 : x\in\mathbb N\}$

2. $\{ (x, y)\in\mathbb R^2 : x+y\in\mathbb Q\}$

3. $\{ (x, y)\in\mathbb R^2 : x^2 + y^2 = 5\}$

4. $\{ (x, y)\in\mathbb R^2 : xy\neq 0\}$.

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Para un conjunto a ser denso en $\mathbb{R}^2$ (o en cualquier otro espacio métrico, para el caso) es necesario y suficiente para comprobar que la terapia ocupacional se cruza con cada abrir el disco. Así que, para probar que un conjunto no es densa, es suficiente para encontrar uno abierto disco que incluye ningún punto de la serie. Por ejemplo, en (1), tome $D((\frac{1}{2},0)\frac{1}{4})$ (un disco con radio de $\frac{1}{4}$$(\frac{1}{2},0)$). No contiene ningún punto de la serie en (1). Por tanto, el conjunto no es denso.
Para probar (4), tomar cualquier disco abierto $D((x,y),r)$. Si $r<min\{|x|,|y|\}$ todos los puntos del disco están en el conjunto dado. Otra cosa, tome $s=min\{|x|,|y|\}$ y tomar cualquier punto en $D((x,y),s)$. Este punto es tanto en $D((x,y),r)$ y en el conjunto dado. Por lo tanto el conjunto es denso.
Usted puede probar todos los otros casos de la misma manera.

Answer 2

Un conjunto es denso en

1. Esto no es denso. Por ejemplo, el barrio con $r=1/3$ circundante $(1/2,0)$ no contiene puntos en este conjunto (desde $x\in\mathbb N$), por lo que este punto no puede ser un punto límite.

2. Este es densa. Contiene $\{(x,y):x,y\in \mathbb Q\}$ que es denso. La prueba para que su densidad es similar a la prueba de que $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$.

3. Esto no es denso. El barrio que rodea el origen con $r=1$ no contiene puntos en este juego.

4. Este es densa. Tome $x,y \in \mathbb R$ tal que $xy=0$. Este es el complemento del conjunto especificado en la pregunta con respecto a $\mathbb R^2$. A continuación, $x=0$ o $y=0$.

Tomar una vecindad alrededor de este conjunto con radio de $r$. Entonces, si $x=0$$y=0$, tome el punto de $(r/2,r/2)$. Este es un miembro de la vecindad, así que este punto es un punto límite.

Si $x=0$$y\not =0$, luego tome el punto de $(r/2,y)$. Este es un miembro de la vecindad, así que el punto es un punto límite.

Del mismo modo, si $x\not=0$$y=0$, tome el punto de $(x,r/2)$. El mismo argumento anterior muestra que este es un punto límite.

Answer 3

1. No. Es un conjunto de líneas paralelas. Estos son verticales y el ir a través del número entero de puntos en la $x$-eje.

2. No. Es un círculo.

3. Sí. Es el avión con el $x$ $y$ ejes extirpados.

4. Interesante. Se trata de una unión de líneas paralelas con pendiente -1 y $y$-en la intersección de las diversas racionales. Es denso en el plano.

Answer 4

1. no es denso. El conjunto de líneas verticales con número natural $x$ coordinar no es denso.

2. Este es densa. Dado $(x,y)$, vamos a $r = x + y$. Si $r$ es irracional , vamos a $q$ ser cualquier número racional cerca de $r$. A continuación, $(x - (r - q), y)$ ha racional de la suma y obtiene cerca a $(x,y)$.

3. Este es un círculo de radio de radio de $\sqrt{5}$ que no es denso.

4. Este es densa. Usted puede obtener arbitraria cerca de $(x,y)$ sin que se cruzan las $x$ o de la $y$ eje.