¿Es f(x,y) integrable? Pregunta 3-7 de Cálculo sobre Múltiples de Spivak

Question

Estoy tratando de trabajar en los ejercicios del libro de Spivak Cálculo sobre Múltiples. Actualmente estoy trabajando en los ejercicios del capítulo 3, que trata de la integración. Tengo problemas con la siguiente pregunta:

Déjalo:

\begin {Edición} f(x,y)= \begin {casos} 0, & \text {si $x$ es irracional}. \\ 0, & \text {si $x$ es racional, $y$ es irracional}. \\ 1/q, & \text {si $x$ es racional, $y=p/q$ en términos mínimos}. \end {casos} \end {Ecuación}

Demostrar que $f$ es integrable en $A = [0,1] \times [0,1]$ y $\int_A f = 0$ .

Estaba pensando en intentar demostrar que este conjunto es medible por Jordan y que su medida de Jordan es cero y que, por tanto, es integrable de Riemann, pero no estoy seguro de cómo hacerlo o de si es incluso la mejor manera de resolver este problema.

Si pudiera demostrar que $f$ es continua en $A$ hasta un conjunto de medidas de Jordan $0$ entonces $f$ sería integrable pero, de nuevo, no estoy seguro de poder hacerlo o de que sea apropiado para este problema.

Cualquier ayuda que alguien pueda proporcionar será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Para cualquier partición $P$ de $A$ la suma inferior $L(P,f) = 0$ ya que todo rectángulo debe contener un punto $(x,y)$ donde $x$ es irracional y $f(x,y) = 0.$ A continuación, demuestre que la suma superior $U(P,f)$ puede ser arbitrariamente cercano a cero si la partición es suficientemente fina. Basta con extender la prueba para el caso unidimensional dada aquí .

A parte

Esta función tiene la particularidad de ser integrable por Riemann en $[0,1]^2$ pero para los racionales fijos $y$ la función $f(\cdot,y)$ es una función de Dirichlet no integrable por Riemann y $\int_0^1 f(x,y) \, dx$ no existe como integral de Riemann.

En este caso, la integral iterada

$$\int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y) \, dx \right) \, dy$$

no existe.

Answer 2

Así que aquí hay un intento de solución:

Así que para cualquier partición $P$ ,

$u(f,P) = 0$ por lo que debería ser suficiente para demostrar que $U(f,P)$ está arbitrariamente cerca de $0$ . Para un número natural $q$ , considere la partición,

$P = \bigl((0,1/q,2/q,\cdots,(q-1)/q,1),(0,1)\bigr)$ .

Dejemos que $x \in [\frac{p}{q}, \frac{p-1}{q}]$ con $p < q$ y $\frac{p}{q}$ en términos mínimos.

Entonces, si $x = \frac{a}{b}$ ,

$b \ge q$

Así, para cualquier rectángulo de la partición $P$ , $U(f,P) = \frac{1}{q^2}$

Y como $q$ puede elegirse de forma arbitraria, la suma superior de $f$ se acerca arbitrariamente a la suma inferior de $f$ para una partición adecuada. Así, $f$ es integrable.

Además,

$\int_{[0,1] \times [0,1]} f$ = $infU(f,P) = q(1/q^2) = 0$

¿Es esto correcto?