Entropía y el principio de menor acción

Question

¿Existe alguna conexión entre la ley de la entropía máxima y el principio de la acción mínima? ¿Es posible derivar uno del otro?

Answer 1

Sí, hay un enlace, ambos son ejemplos de principios de máximo. Y sí, es posible derivar el principio de mínima acción a partir de la ley de entropía máxima. La derivación es larga y solo esbozaré los pasos principales necesarios:

1. Partimos de la ley de entropía máxima $dS/dt \geq 0$. Como sabemos, esta ley solo es válida para sistemas aislados [i]. Para sistemas disipativos $dS/dt > 0$, la evolución es irreversible y no puede ser descrita por un principio de acción. Debemos considerar sistemas no disipativos, para los cuales $dS/dt = 0. Esto es correcto porque los principios de acción están rigurosamente restringidos [ii] a Sistemas No Disipativos.

2. A partir de la estructura del espacio de fases podemos mostrar que el estado del espacio de fases $\rho$ satisface la ecuación $d\rho/dt = \partial\rho/\partial t - \mathcal{L}\rho$, donde $\mathcal{L}$ es el Liouvilliano.

3. A partir de la constancia de la entropía (1), podemos derivar el teorema de Liouville $d\rho/dt=0$, usando la relación de Gibbs $S=S(\rho)$. Esto implica que la ecuación general de movimiento (2) se reduce a la ecuación de Liouville $\partial\rho/\partial t = \mathcal{L}\rho. Efectivamente, esta ecuación no es disipativa y conserva la entropía.

4. Para un sistema mecánico en un estado puro, el estado del espacio de fases está dado por el conocido producto de deltas de Dirac; sustituyendo esto $\rho_\mathrm{pure}$ en la ecuación de Liouville, la ecuación se reduce a las ecuaciones de movimiento de Hamilton: $dq/dt = \partial H / \partial p$ y $dp/dt = -\partial H / \partial q$.

5. Usando el método de Hamilton-Jacobi, las ecuaciones de movimiento de Hamilton se pueden escribir nuevamente como una sola ecuación: la ecuación de Hamilton-Jacobi $H + \partial A / \partial t = 0, donde $A$ es la acción [iii].

6. Se puede demostrar que la ecuación de Hamilton-Jacobi "es una expresión equivalente a un problema de minimización integral como el principio de Hamilton", y el principio de Hamilton es simplemente la versión hamiltoniana del principio de mínima acción. En otras palabras, al resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi se obtiene la acción $A$ y esto automáticamente satisface el principio de mínima acción $\delta A=0.

7. Otras versiones del principio de mínima acción se pueden obtener a partir de aquí. Por ejemplo, la versión lagrangiana del principio se puede obtener utilizando una transformación de Legendre para derivar el lagrangiano $L = pv - H. En este caso, la acción se da por $A=\int L dt.

[i] Para sistemas no aislados la entropía puede aumentar, disminuir o permanecer constante.

[ii] Como se informa en el enlace de Scholarpedia, hay algunos pocos sistemas disipativos especiales que pueden ser descritos por un principio de acción. Estos son sistemas abiertos para los cuales la producción de entropía se compensa con un flujo externo de entropía para dar una variación total cero $dS=d_iS+d_eS=0. Además, el principio de acción solo describe el comportamiento promedio de estos sistemas, pero no las fluctuaciones térmicas.

[iii] Las referencias en mecánica suelen denotar la acción como $S$, pero aquí se confundiría con la entropía.

Answer 2

"Entropía" y "acción" son dos conceptos completamente diferentes. El primero se relaciona con una descripción estadística de grano grueso de un sistema físico a escalas macroscópicas, mientras que el segundo se refiere a la dinámica microscópica determinista subyacente exhibida por el sistema.

También hay que tener en cuenta que: 1) la segunda ley de la termodinámica nos dice que la entropía no disminuye, no necesariamente aumenta y ciertamente puede alcanzar valores no máximos, y 2) la acción es estacionaria y no necesariamente mínima o máxima. Por lo tanto, al considerarse como leyes fundamentales de la física, tanto la 'entropía máxima' como el 'principio de menor acción' son términos equivocados.

Centrándonos en el núcleo de tu pregunta: 'aumento de entropía' y 'estacionariedad de acción' están desconectados, e incluso son incompatibles. Uno definitivamente no puede derivarse del otro. Esto se debe a la simple razón de que 'estacionariedad de acción' describe una física reversible, mientras que 'aumento de entropía' nos presenta una imagen irreversible de la evolución de los sistemas físicos. La diferencia, nuevamente, radica en lo microscópico versus macroscópico.

Como analogía, piensa en dos afirmaciones que se pueden hacer sobre la física del billar. La primera es que las bolas chocan de acuerdo con las leyes de Newton, lo cual se puede expresar afirmando que las trayectorias detalladas de las bolas hacen que una cantidad llamada 'acción' sea estacionaria. La segunda es la afirmación estadística de grano grueso de que mientras las bolas no se han embocado, la distancia promedio entre las bolas no disminuye. Ambas afirmaciones están desconectadas y se aplican a una descripción del billar en diferentes niveles.

Answer 3

Este antiguo artículo ruso parecía haber discutido el problema sin adentrarse mucho en la mecánica estadística fuera del equilibrio. No he leído todo el artículo completo. Revista de Física Soviética Mayo de 1991, Volumen 34, Número 5, págs. 426-431. Moslov es el autor. ¡Echa un vistazo a sus otros artículos también!

Answer 4

Como dice Joannes, los dos principios pertenecen a dos teorías diferentes:

• el principio de mínima acción es un principio sobre las leyes (conservativas) del movimiento y una proposición sobre los caminos seguidos realmente por los grados de libertad de los cuerpos mecánicos

• el principio de máxima entropía se refiere ya sea a la termodinámica para determinar en qué dirección ocurrirá una transformación o más generalmente a la teoría de inferencia Bayesiana y rara vez se preocupa por la dinámica

Por lo tanto, son conceptos bastante diferentes y, aunque puede haber algunas superposiciones entre los dos en algunos casos, no recomendaría, como cuestión de principio, pensar que estas dos cosas están estrechamente relacionadas, ya que no es el caso.

En cuanto a "derivar" uno del otro, al menos deberíamos ponernos de acuerdo primero en cuáles son los axiomas con los que empezamos.

Por ejemplo, algunas versiones del teorema de fluctuación de Crooks permiten obtener algo muy parecido a un principio de máxima entropía (en promedio) "a partir" simplemente de la mecánica hamiltoniana (que yo equipararía al principio de mínima acción por ahora) pero está claro que el teorema se basa mucho en la teoría de la probabilidad (y posiblemente en la inferencia Bayesiana) que, en mi opinión al menos, está fuera del alcance del principio de mínima acción solo.

Creo que es un cambio importante a tener en cuenta incluso al invocar el teorema de Liouville, que es un teorema que hace proposiciones sobre densidades de probabilidad y no sobre trayectorias.

Answer 5

Lamento la broma sobre la conciencia. A veces los chistes reducen la entropía; aparentemente no tuve éxito esta vez. De hecho, hay mucha confusión relacionada con la segunda ley. La "demostración" de Jaynes, al igual que muchas otras, tiene suposiciones adicionales que parecen inofensivas. No lo son. Lo mejor es alejarse de teoremas demasiado generales, ya que, a diferencia de las matemáticas, en física a menudo vienen con suposiciones externas que parecen inocuas, pero difíciles de evaluar rigurosamente. Consideremos un caso particular de ecuaciones de Hamilton; las ecuaciones de Euler con la fuerza ficticia de Euler. No hay fluidos idealmente viscosos en la naturaleza, pero para muchos problemas, los problemas mecánicos de fluidos pueden tratarse con las EE con viscosidad cero. Pero esta es una ecuación de Hamilton completamente con un número incontable de invariantes topológicos y soluciones de estado estacionario. Las ecuaciones reales para describir el flujo de fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes empíricas, las NSE con término viscoso en el lado derecho. En un estado estacionario y asumiendo que el flujo en el dominio infinito y el fluido tiene una viscosidad no nula pero que tiende a cero, el flujo será altamente turbulento, porque las NSE son invariantes a escala y la naturaleza de los flujos está determinada por un parámetro adimensional proporcional a la viscosidad inversa. Dado que tiende a cero, este parámetro tiende a infinito y esto significa flujo turbulento; en el caso más simple homogéneo e isotrópico. El flujo se agita en alguna escala grande de manera coherente, digamos por los remos coherentes del mismo tamaño. Por lo tanto, el flujo forzado inicial tiene solo un armónico, es perfectamente coherente. Sin embargo, la fuerza ficticia de Euler divide este movimiento coherente en un gran número de vórtices de escalas cada vez más pequeñas de forma secuencial. Eventualmente se volverán tan pequeños que el término viscoso en el lado derecho se vuelve grande incluso cuando la viscosidad es arbitrariamente pequeña. El número de pequeños vórtices tenderá a infinito como parte inversa de la potencia de la viscosidad 3/4 si no me equivoco. Obviamente, el número de grados de libertad que era uno para el movimiento coherente a gran escala es ahora infinito. Y son principalmente no correlacionados; esto no es realmente cierto, pero casi no están correlacionados. En el sentido cinético, su entropía como simplemente el número de grados de libertad es enorme y toda esta energía caótica ahora se disipa en calor, un calor infrarrojo totalmente caótico. ¿Qué sucedió? Explicaré lo que sucedió mañana. Mientras tanto, solo menciono que no hay una transición analítica de la viscosidad que tienda a cero y la viscosidad igual a cero. Si no fuera por esta no analiticidad, los peces no nadarían y las aves y las aeronaves no volarían; sorprendentemente, la fuerza de elevación no depende de la viscosidad; pero esto es una ilusión porque si la viscosidad fuera cero, no habría elevación en absoluto. De hecho, los flujos de fluidos ideales son solo el número incontable de difeomorfismos y como no puede haber un observador inmerso en un fluido ideal