¿Qué significa esta pista y cómo es útil para resolver el problema?

Question

Estoy haciendo un problema sobre la convergencia de la variable aleatoria. Se dio una pista, pero todavía estoy luchando para entender la pista.

Este es el problema:

Dejemos que $Y_n$ se distribuya uniformemente en $\{0,1,\ldots,n\}$ : $\mathbb{P}(Y_n=k)=\frac{1}{n+1},0\le k\le n$ . Demostrar que $X_n:=Y_n/n\xrightarrow{d}X\sim U[0,1]$ como $n\to\infty$ . (donde $\xrightarrow{d}$ significa convergencia en la distribución).

Este es el diagrama que he intentado dibujar:

Y aquí está la pista:

El límite de DF $F(x)=x1(x\in[0,1])+1(x>1)$ (donde 1 es el indicador) es continua, así que hay que demostrarlo: $\forall x\in\mathbb{R},F_{X_n}\to F(x)$ como $n\to\infty$ .

Mis preguntas son:
1. ¿Qué quiere decir la pista con el DF limitante ?
2. Y qué significa y cómo surge con $F(x)=x1(x\in[0,1])+1(x>1)$ ¿Qué importancia tiene para la prueba? ¿Qué relación tiene con el diagrama?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, encontrar la función de distribución de $Y_n$ , es decir, un $F_n$ tal que $$ \mathbb{P}(Y_n \leq x) = F_n(x) \text{.} $$ Ya has dibujado un diagrama de esos $F_n$ Así que tendrás que formalizarlo de alguna manera. Puede que quieras usar ese $x \lfloor \frac{x}{n} \rfloor = x$ si y sólo si $x$ es un múltiplo de $n$ .

A partir de ahí, encontrar la función de distribución $\widetilde{F}_n$ de $\widetilde{Y}_n = \frac{1}{n}$ . Sólo tendrás que reescalar el $x$ -eje para llegar desde $F(n)$ a $\widetilde{F}(n)$ porque $$ \widetilde{F}(x) = \mathbb{P}(\widetilde{Y}_n \leq x) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n}Y_n \leq x\right) = \mathbb{P}(Y_n \leq nx) = F(nx) \text{.} $$ Pero eso ya lo sabías, supongo, porque también dibujaste un bonito diagrama de $\widetilde{F}$ .

El función de distribución limitante es la función de distribución del límite de la $Y_n$ es decir, la función de distribución de $U[0,1]$ . Así que, de nuevo, estás buscando un $F$ tal que $$ \mathbb{P}(U[0,1] \leq x) = F(x) \text{.} $$ Ahora, $\mathbb{P}(U[0,1] \leq x) = x$ si $x \in [0,1]$ . Tendrás que extenderlo a $\mathbb{R}$ para que el resultado siga siendo $\geq 0$ , monótona y acotada por $1$ . Sólo hay una manera de hacerlo...

Por último, hay que mostrar, utilizando el $F_n$ y $F$ que encontraste, que $F_n \to F$ en un punto, es decir, que para cada $x \in \mathbb{R}$ , usted tiene $$ \lim_{n\to\infty} F_n(x) = F(x) \text{.} $$ Tus diagramas básicamente ya muestran eso también - sólo imagina lo que sucede si añades más y más de esos pasos...