Así, se tendría un tiempo difícil probar que una reducción de la palabra sólo a los desplazamientos con la identidad, porque cada palabra desplazamientos con todo el poder de sí mismo, y por supuesto, cualquier elemento $a\in A$ se conmutan con todos los elementos en $C_A(a)$, y cualquier $b\in B$ con todos los elementos en $C_B(b)$. Así que no hay elemento de $A*B$ ha trivial centralizador! Pero no se necesita de un elemento no trivial que no conmuta con cualquier cosa para que el centro sea trivial (buena cosa, ya que no hay tal cosa en cualquier grupo no trivial); sólo se necesita que cada elemento no trivial para no conmuta con algo.
Usted realmente no necesita considerar una gran cantidad de casos: las únicas dos cosas que usted tiene que preocuparse un poco acerca de qué hacer si ambos grupos tienen sólo dos elementos, y lo que la reducción de la palabra comienza y termina con. Por ejemplo, si $\mathbf{w}$ es una reducción de la palabra que empieza y termina con un elemento de $A$, luego tomar $b\in B$, $b\neq e$ para conseguir algo no conmuta con, por lo $\mathbf{w}$ no puede ser central. Si comienza con un elemento de $A$ y termina con un elemento de $B$, a continuación, tomar una palabra $\mathbf{w}'$ que comienza con un elemento de $A$ y termina con un elemento de $B$ (de modo que $\mathbf{w}\mathbf{w}'$ $\mathbf{w}'\mathbf{w}$ ya son reducidas), y hacer $\mathbf{w}'$ empezar con algo diferente de lo $\mathbf{w}$ empieza: o terminar con algo diferente de lo $\mathbf{w}$ termina con; etc. Usted debe tener sólo 4 casos, y sólo dos que pueden dar problemas si los grupos son muy pequeños, en cuyo caso usted puede simplemente mirar a ellos directamente.
Su argumento de por qué $A*B$ es infinito está bien. Incluso se puede producir, de forma explícita, las palabras de longitud arbitraria: se acaba de tomar $a\in A$, $b\in B$ con $a\neq e\neq b$, y considerar la posibilidad de $(ab)^n$, $n\in\mathbb{Z}$.
