El máximo menos el mínimo de $c$ donde $a+b+c=2$ $a^2+b^2+c^2=12$

Question

Deje $a,b,$ $c$ ser números reales tales que

$a+b+c=2 \text{ and } a^2+b^2+c^2=12.$ ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo posible de los valores de $c$?

$\text{(A) }2\qquad \text{ (B) }\frac{10}{3}\qquad \text{ (C) }4 \qquad \text{ (D) }\frac{16}{3}\qquad \text{ (E) }\frac{20}{3}$

Como yo estaba leyendo la solución para este problema, me di cuenta de que se dice que el uso de Cauchy–Schwarz desigualdad. Yo sé lo que esta desigualdad es (producto escalar de dos vectores < vector 1*vector 2), pero no entiendo cómo se puede aplicar en esta situación. Gracias!

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2013_AMC_12B_Problems/Problem_17

Answer 1

Por C-S $$12=a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}(1^2+1^2)(a^2+b^2)+c^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2+c^2=\frac{1}{2}(2-c)^2+c^2,$$ que da $$3c^2-4c-20\leq0$$ o $$(3c-10)(c+2)\leq0$$ o $$-2\leq c\leq\frac{10}{3}.$$ Ahora, conseguimos $$\frac{10}{3}-(-2)=\frac{16}{3}.$$

Answer 2

Tenemos $$ a+b=(a,b)\cdot (1,1)\leq (a^2+b^2)^{1/2}\sqrt2, $$ which they use as $$(a+b)^2\leq 2 (a^2+b^2). $$

Answer 3

Sugerencia: $$(2-c)^2 = (a+b)^2 = (a \cdot 1 + b \cdot 1)^2 \le (a^2 + b^2) (1^2 + 1^2) = 2(12-c^2)$$ Búsqueda de $c$ la satisfacción de esta desigualdad equivale a la solución de una ecuación cuadrática.

$$c^2 - 4c + 4 \le 24 - 2 c^2$$ $$3 c^2 - 4 c - 20 \le 0$$ So $c$ is between the two roots $-2$ and $10/3$. Note that you should check that for each of these values of $c$, there exist valid choices of $$ and $b$ that satisfy the two original equalities. Specifically, $a=b=2$ and $c=-2$ works, as well as $a=b=-2/3$ and $c=10/3$.

Answer 4

Deje $a=mc$ $b=nc$ $$m+n=\dfrac{2}{c}-1~~~,~~~m^2+n^2=\dfrac{12}{c^2}-1$$ por Cauchy-Schwarz $$(m+n)^2\leq2(m^2+n^2)$$ con la sustitución de $-3c^2+4c+20\geq0$ da $c=-2,\dfrac{10}{3}$ nos conduce a diferencia $\dfrac{16}{3}$.

Answer 5

Queremos encontrar los valores de $c$ tales que las siguientes ecuaciones simultáneas tienen soluciones reales a $a$$b$: $$\begin{cases}a+b&=&2-c\\a^2+b^2&=&12-c^2\end{cases}$$

El etiquetado de las ecuaciones como $(1)$ $(2)$ respectivamente, $(1)^2 - (2)$ da $2ab = -8-4c+2c^2$, so $(a-b)^2 = a^2+b^2 - 2ab = (12-c^2) - (-8-4c+2c^2) = 20+4c-3c^2$.

Si ese número no negativo, entonces $a-b = \pm\sqrt{20+4c-3c^2}$, que en conjunto con $(1)$ da dos conjuntos de soluciones.

Por lo que sigue siendo solucionar $20 + 4c - 3c^2 \ge 0$, no de Cauchy-Schwarz es necesario.